1.2 空间向量基本定理

B，不能。沿地板走得再远也到不了上方，还缺一个离开地板的方向。

C。\(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 都在 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) 所在的平面里，而 \(\boldsymbol{c}\) 不在这个平面里，三个不共面。

A：第三个就是前两个的和，共面。B：三个向量都只含 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\)，都在同一个平面里。D：三个加起来 \(=\boldsymbol{0}\)，所以 \(\boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}=-(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})\)，共面。

常见算错：B、D 两组都两两不共线，看着“方向各不相同”就以为能做基底；要检查的是三个合起来共不共面。

A。分解路径：\(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{A_1P}\)。

因为 \(P\) 是上底面平行四边形 \(A_1B_1C_1D_1\) 对角线 \(A_1C_1\) 的中点，\(\overrightarrow{A_1C_1} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_1D_1} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\)，所以：

$$\overrightarrow{A_1P} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A_1C_1} = \frac{1}{2}\boldsymbol{a} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}$$

加上竖直棱向量 \(\overrightarrow{AA_1} = \boldsymbol{c}\)，即得 \(\overrightarrow{AP} = \dfrac{1}{2}\boldsymbol{a} + \dfrac{1}{2}\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}\)。

常见算错：选 C 的同学误把 \(P\) 当成了体对角线中点，把竖直分量也乘了 \(\dfrac{1}{2}\)；选 B 的同学忘了给底面对角线乘 \(\dfrac{1}{2}\)。

A。系数和 \(2 + 1 + (-2) = 1\)，所以 \(P, A, B, C\) 四点共面。

常见算错：选 B 是把“系数有负数”当成“在平面外”，负数只说明 \(P\) 落在三角形 \(ABC\) 外面，仍在平面上；选 C 是把 \(-2\) 当成 \(2\) 加了进去。

A。化简共线关系：\(\overrightarrow{OP} = 2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OP}) \implies 3\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OM} \implies \overrightarrow{OP} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OM}\)。

因为 \(M\) 是 \(BC\) 的中点，\(\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{OC}\)，代入得：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$$

因此 \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OC}\)。

A。题中 \(A,B,C\) 不共线且 \(O\) 在平面 \(ABC\) 外，所以 \(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\) 不共面。在此前提下，若 \(\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}\)，则 \(P, A, B, C\) 四点共面当且仅当 \(x + y + z = 1\)。

直接代入：\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \lambda = 1 \implies \dfrac{5}{6} + \lambda = 1 \implies \lambda = \dfrac{1}{6}\)。

C。逐项剖析红线边界：

• A 错：两两不共线不等于不共面！正三角形的三边向量两两不共线，但共面，绝不能作空间基底；
• B 错：零向量与任意向量共面，基向量必须全为非零向量；
• D 错：若存在不全为零的系数使线性组合为零向量，说明这三个向量线性相关（共面），恰恰不能构成基底；
• C 对：空间向量基本定理的核心定义与唯一性。

B。直角坐标模长公式仅在单位正交基底下成立。

本题中 \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{AD}\)（数量积为 0），但 \(\overrightarrow{AP}\) 与 \(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AD}\) 的夹角均为 \(60^\circ\)，数量积为 \(1\times 1 \times \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\)。

正确计算展开式必须保留交叉项：

$$|\overrightarrow{PC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AD}|^2 + |\overrightarrow{AP}|^2 + 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} - 2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP} - 2\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AP}$$

$$= 1 + 1 + 1 + 0 - 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right) = 3 - 1 - 1 = 1$$

故真实长度 \(|\overrightarrow{PC}| = 1\)，绝不是 \(\sqrt{3}\)！

B。由底面重心性质：\(\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\)。

因为 \(AM = 3MG\)，所以 \(AM = \dfrac{3}{4}AG\)，即：

$$\overrightarrow{AM} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AG} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{4}\overrightarrow{AD}$$

将 \(\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{m}\overrightarrow{AE}\), \(\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{n}\overrightarrow{AF}\), \(\overrightarrow{AD} = \dfrac{1}{p}\overrightarrow{AH}\) 代入基底表示式：

$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{4m}\overrightarrow{AE} + \frac{1}{4n}\overrightarrow{AF} + \frac{1}{4p}\overrightarrow{AH}$$

因为点 \(M, E, F, H\) 四点共面，由四点共面定理充要条件：

$$\frac{1}{4m} + \frac{1}{4n} + \frac{1}{4p} = 1 \implies \frac{1}{m} + \frac{1}{n} + \frac{1}{p} = 4$$

这是高考与各省模考中考查四点共面定理与重心性质的经典结论题！