选择性必修第三册 · 第 7 章随机变量及其分布

7.4 二项分布与超几何分布

同一件事重复做几次，数“成功”了几次；从一堆东西里抽几个，数“有特征的”有几个。这是两种最常见的分布，关键是分清什么时候用哪一个。

抛一枚均匀的硬币，连抛 $3$ 次。每次都有“正”“反”2 种可能，3 次一共展开成 $2^3=8$ 条等可能分支。先根据题目数据作答，再操作图示核对。

恰好有 $2$ 次正面朝上的概率是多少？

1. 先认识几个词

要用到：6.3 二项式定理（回看 6.3）；7.2 离散型随机变量与超几何分布（回看 7.2）；7.3 期望与方差（回看 7.3）。二项分布与超几何分布是高中概率大题最常考的两大经典离散分布。

课本用词：二项分布要求固定次数、每次成功概率相同且试验独立；不放回抽样会改变概率，应使用超几何模型。

伯努利试验（独立重复二项试验）：只可能出现两个对立结果（成功或失败）的单次试验称为伯努利试验。在完全相同的条件下重复进行 $n$ 次相互独立的试验，各次试验互不影响，每次试验中成功的概率恒为 $p$。

例：掷骰子 5 次每次看是否为 6 点；射击 10 次每次看是否命中；有放回抽样 4 次每次看是否为次品。

二项分布 $X \sim B(n, p)$：在 $n$ 重伯努利试验中，成功的次数 $X$ 服从二项分布。其概率公式恰为二项式展开式的一项：

$$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\quad (k = 0, 1, 2, \dots, n)$$

为什么有 $C_n^k$：在 $n$ 次试验中，恰好有 $k$ 次成功、$n-k$ 次失败。这 $k$ 次成功可以出现在任意 $k$ 个位次上，组合数为 $C_n^k$，每种具体路径的概率均为 $p^k (1-p)^{n-k}$。

超几何分布与大样本近似：

• 超几何分布：从共 $N$ 件、含 $M$ 件特品的总体中，等可能地不放回抽取 $n$ 件，抽到的特品数服从超几何分布。参数为整数，$N\ge1,\ 0\le M\le N,\ 0\le n\le N$；通常抽至少1件，$n=0$ 可作为空抽样的退化情形。

• 二项近似：关键是抽样比 $n/N$ 很小，不能只看总体 $N$ 大。此时每次抽取对剩余特品比例的影响较小，可考虑用 $B(n,M/N)$ 近似；所求概率的误差仍需核查，没有一个固定总体门槛能保证所有题目都足够准确。

二项与超几何模型：抽样、近似与均值（方差比较为拓展）

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二项分布 $B(n, p)$ 有放回 / 独立

抽样机理：有放回抽样，各次试验独立，$p$ 恒定不变。

概率公式：$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$。

期望与方差：$E(X) = np,\quad D(X) = np(1-p)$。

超几何分布 $H(N, M, n)$ 不放回 / 牵连

抽样机理：不放回抽样，在 $0<M<N$、至少抽2件时，各次试验相关；下一次成功概率随已抽结果而变。

概率公式：$P(X=k) = \dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$。

均值：$E(X)=np$，其中 $p=M/N$。超几何方差计算不作本节要求，见下方可跳过拓展。

2. 本节主公式与模型对比

二项分布与超几何分布核心对照表：

二项分布公式：$P(X=k) = \color{#d97706}{C_n^k} \cdot \color{#1976d2}{p^k} \cdot \color{#2e7d32}{(1-p)^{n-k}},\qquad E(X) = \color{#1976d2}{np},\quad D(X) = \color{#2e7d32}{np(1-p)}$

超几何分布公式：$P(X=k) = \dfrac{\color{#1976d2}{C_M^k} \cdot \color{#2e7d32}{C_{N-M}^{n-k}}}{\color{#d97706}{C_N^n}},\qquad E(X) = \color{#1976d2}{n \cdot \dfrac{M}{N}} = \color{#1976d2}{np}$

拓展（教师参考，可跳过）：超几何方差

本节要求掌握二项分布的数字特征、了解超几何分布及均值；超几何方差计算不作要求。下面的公式与比较只供进一步观察。

当 $N>1$ 时，$D(X)=np(1-p)\dfrac{N-n}{N-1}$，其中 $p=M/N$。同一组 $n,p$ 下，若 $1\le n\le N$，则 $D_{\text{超}}\le D_{\text{二}}$；严格小于需 $n>1$ 且 $0<p<1$。$n=1$ 或 $p=0,1$ 时相等。

$N=1$ 时计数确定，方差为0，不代入分母 $N-1$ 为0的式子。若允许 $n=0$，两模型也都恒为0、方差为0。

自己试试：掷一颗均匀的骰子 $3$ 次，恰好有 $1$ 次是 $6$ 点的概率是？

C。$X\sim B\left(3,\dfrac16\right)$，$P(X=1)=C_3^1\cdot\dfrac16\cdot\left(\dfrac56\right)^2=3\times\dfrac{25}{216}=\dfrac{25}{72}$。选 B 的同学只算了一种排法“第 $1$ 次是 $6$、后两次不是”，漏乘了 $C_3^1=3$：那个 $6$ 点可以出现在第 $1$、$2$、$3$ 次。

自己试试：一批灯泡的合格率是 $0.9$，从中随机抽 $10$ 个（看作 $10$ 次独立试验）。不合格的个数 $Y$ 的均值和方差是？

B。数的是不合格的，“成功”就是“不合格”，$p=0.1$，$Y\sim B(10,0.1)$。$E=10\times0.1=1$，$D=10\times0.1\times0.9=0.9$。选 A 的同学把 $0.9$ 当成了 $p$，算出的是合格个数的均值；选 C 的同学漏乘了 $n$。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：某箱中有 10 件产品，其中 3 件次品，7 件正品。从中随机抽取 3 件产品。
① 若“有放回地连续抽取 3 次”，求抽到的次品件数 $X$ 的期望与方差；
② 若“一次性不放回抽取 3 件”，求抽到的次品件数 $Y$ 的均值。方差比较另作可跳过拓展。

👀 第一眼破题信号： ① 看到比较有放回与不放回抽样，或问成功次数 → 想到先辨认是否独立重复。
② 有放回且独立 → 想到二项模型；不放回 → 想到超几何模型，并核对总体、成功数和抽取数。

🔧 第二步套公式分别求解：

• ① 有放回（二项分布）：$n = 3,\; p = \dfrac{3}{10} = 0.3$。
期望：$E(X) = np = 3 \times 0.3 = 0.9$；
方差：$D(X) = np(1-p) = 3 \times 0.3 \times 0.7 = 0.63$。
• ② 不放回（超几何分布）：$N = 10,\; M = 3,\; n = 3$。
期望：$E(Y) = n \dfrac{M}{N} = 3 \times \dfrac{3}{10} = 0.9$。

🛡️ 第三步本质洞察与防坑核查：两种抽样的均值都为 $0.9$，但均值相同不表示分布相同。有放回满足独立且概率恒定，可用二项方差公式；不放回不能直接套用该公式。

拓展（可跳过）：比较本例方差

$D(Y)=0.63\times\dfrac{10-3}{10-1}=0.49<0.63=D(X)$。本例 $n>1$ 且 $0<p<1$，为严格小于；抽1件或总体全为同类时相等。这项计算不作本节要求。

自己试试：$7$ 名同学里有 $5$ 名男生、$2$ 名女生，随机选 $4$ 人。选中的男生人数 $X$ 可能取哪些值？

C。女生只有 $2$ 名，选 $4$ 人至少有 $2$ 名男生：$\max(0,4-7+5)=2$；最多 $\min(4,5)=4$。选 A 的同学忘了女生不够；选 D 的同学忘了一共只选 $4$ 人。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

翻车现场 1：审题漏看“放回”字眼，二项与超几何模型错配

❌ 翻车：题目写“不放回抽取 3 件”，却套用二项分布写 $P(X=k) = C_3^k p^k (1-p)^{3-k}$。

✔ 正确：严格圈画题眼！“不放回 / 一次性抽取”走超几何分布（组合数之比）；“有放回 / 独立重复进行”走二项分布！模型一旦用反，整题概率算错零分。

翻车现场 2：二项分布公式漏乘组合数 $C_n^k$（只算了一种固定次序）

❌ 翻车：掷 3 次骰子恰有 1 次得 6 点，直接写成 $\dfrac{1}{6} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{25}{216}$。

✔ 自查：上式只算了一个固定次序。请列出这个 6 点可能出现的位置：这些次序能否同时发生，概率是否相同？将所有互斥次序的概率相加，或用组合数计入位置选择，再自行化简。

翻车现场 3：成功概率 $p$ 与失败概率 $1-p$ 颠倒

❌ 翻车：每件产品独立地以概率 $q$ 合格，抽取 $n$ 件，求“不合格产品数”的期望，却直接写 $E(X)=nq$。

✔ 正确：随机变量 $X$ 统计的是什么，什么就是“成功”！统计不合格品数时，单次“成功”概率应取 $p=1-q$，所以 $E(X)=n(1-q)$。先写清楚统计对象，再代入题目数据。

反例微图解：有放回独立抽样 vs 不放回动态关联抽样对比

有放回：球摸出后放回，袋内永远 3:7，每次概率恒定 0.3；不放回：球取出一只少一只，第二只概率随第一只改变。

① 二项分布的形状：拖 $n$ 和 $p$

柱子高度是 $P(X=k)$，蓝色虚线是均值 $np$。点一根柱子（或点图后按左右方向键）选中一个 $k$，下面给出它的算式。

$n$

$p$

② 进阶：同一个袋子，放回和不放回

$N$ 个球里有 $M$ 个红球（红球比例 $\dfrac MN$），摸 $n$ 个，数红球。蓝柱：放回，$B\left(n,\dfrac MN\right)$；金柱：不放回，超几何分布。保持比例和抽样数 $n$ 不变，把 $N$ 调大，抽样比 $n/N$ 变小，看两组柱子怎么靠近；红色三角标出差得最多的 $k$。下方方差读数属于可跳过拓展，不作本节要求。

$N$

$\dfrac MN$

$n$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 一份测验有 $5$ 道判断题，小明每道都靠猜，猜对的概率是 $\dfrac12$，各题互不影响。他恰好猜对 $4$ 道的概率是？

B。猜对道数 $X\sim B\left(5,\dfrac12\right)$，$P(X=4)=C_5^4\left(\dfrac12\right)^4\cdot\dfrac12=\dfrac5{32}$。选 A 的同学漏乘了 $C_5^4=5$（只算了一种对错排法）；$\dfrac45$ 是把“$5$ 道里对 $4$ 道”当成了概率。

2. $X\sim B(20,\,0.3)$，$E(X)$ 和 $D(X)$ 分别是？

A。$E=np=20\times0.3=6$，$D=np(1-p)=6\times0.7=4.2$。选 B 的同学乘成了 $np\cdot p$；选 C 的同学用了 $1-p$ 算均值；D 把方差也写成了 $np$。

易错

3. 盒中 $6$ 个零件，其中 $2$ 个次品。不放回地取 $3$ 个，取到的次品数为 $X$。$P(X=2)$ 是？

B。不放回，$X$ 服从超几何分布：$P(X=2)=\dfrac{C_2^2\,C_4^1}{C_6^3}=\dfrac{4}{20}=\dfrac15$。

选 A 的同学当成了 $B\left(3,\dfrac13\right)$：$C_3^2\left(\dfrac13\right)^2\cdot\dfrac23=\dfrac29$。可是取走一个次品后，下一次取到次品的概率就变了，各次也不独立，二项分布的条件不满足。

4. 一批产品共 $10000$ 件，其中 $500$ 件次品，不放回地抽 $5$ 件，次品数为 $X$。下面哪种说法对？

B。不放回抽取，准确的模型是超几何分布。总体比样本大得多时，抽走几件几乎不改变次品比例，所以二项分布是很好的近似，但两者并不相等（比如 $P(X=0)$：超几何约 $0.77374$，二项 $0.95^5\approx0.77378$）。A 把近似说成了相等；C 太绝对，近似计算是允许的，只要说明是近似，理由是本题抽样比 $5/10000=0.0005$ 很小，并核查所需精度。

顺带一提：两种模型的均值都是 $5\times0.05=0.25$，一样。

5. 小李投篮，每次命中的概率是 $0.6$，各次互不影响。他一投中就停，最多投 $3$ 次。投篮次数 $X=3$ 的概率是？

B。投满 $3$ 次，只要求前两次都没中（第 $3$ 次中不中都停），$P(X=3)=0.4\times0.4=0.16$。

投篮次数不是固定的 $n$，$X$ 也不是“成功次数”，不服从二项分布。选 A 的同学套了 $C_3^3\cdot0.6^3$；选 C 的同学要求第 $3$ 次一定投中（$0.4^2\times0.6$），那是“第 $3$ 次才投中”，比“投了 $3$ 次”少了第 $3$ 次也没中的情况；D 是三次都不中。

挑战

6. 甲、乙进行三局两胜的比赛，甲每局获胜的概率是 $0.6$，各局互不影响。甲赢得比赛的概率是？

B。直接分情况：甲 $2:0$ 胜，$0.6^2=0.36$；甲 $2:1$ 胜，前两局一胜一负、第三局胜，$C_2^1\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.6=0.288$。合计 $0.648$。

另一种想法（见“再深一点”）：设想总是打满 $3$ 局，补打不改变谁先赢 $2$ 局，所以甲胜 $\iff$ 打满 $3$ 局时甲至少胜 $2$ 局：$C_3^2\cdot0.6^2\cdot0.4+0.6^3=0.432+0.216=0.648$。选 C 的同学只算了“恰好胜 $2$ 局”，漏了 $3$ 局全胜；选 A 的只算了 $2:0$。