培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 9 章 统计
9.2 用样本估计总体
抽到一组数据以后，怎么看出它的“样子”：画图看分布，用百分位数看位置，用平均数、中位数看中间在哪，用方差看波动有多大。再用这些去估计总体。
甲、乙两位同学最近 5 次小测（满分 \(10\) 分）：
甲：\(7,\ 8,\ 8,\ 8,\ 9\) 乙：\(6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10\)
两人的平均分都是 \(8\) 分。谁的成绩更稳定？
A。甲的分数都挤在 \(8\) 附近，最多差 \(1\) 分；乙从 \(6\) 到 \(10\)，上下差得多。
平均数一样，数据的“样子”却不一样。只看一个数不够：要看中间在哪（平均数、中位数、众数），也要看散得多开（方差、标准差），还可以画图看整体分布。这一节就讲这些工具，以及怎样用一份样本去估计总体。
1. 先认识几个词
要用到：9.1 样本与总体；初中平均数、中位数、众数。用样本数据特征量科学推断总体规律。
算法机制：\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\)，每一个数据都在贡献分子。
核心软肋：极易受极端高值或低值拉扯（右偏分布中均值显著大于中位数）。
代表场景：计算平均成本、人均产值等需要全员总量加和的指标。
算法机制：从小到大排列后居于正中间的数值（偶数个取中间两数的均值）。
核心优势：极端值再大也拉不动它，具有极强的统计抗干扰稳健性。
代表场景：居民收入、房价水平等偏态分布指标，更贴近“一般水平”。
频数与频率：落在某组内的数据个数叫频数；频数除以总样本量叫频率，所有组频率和等于 1。
组距与组中值：区间长度叫组距；区间两端点的平均值叫组中值（估算平均数时充当该组代表值）。
方差与标准差：方差 \(s^2 = \frac{1}{n}\sum(x_i - \bar{x})^2\)（分母为 \(n\)）；标准差 \(s = \sqrt{s^2}\) 与原数据同单位，衡量数据波动离散程度。
一、图表和百分位数
2. 频率分布直方图
例 1（看一遍怎么写）
调查 20 名同学每周运动时间（小时），按组距 2 分组：\([0,2)\) 有 2 人，\([2,4)\) 有 6 人，\([4,6)\) 有 8 人，\([6,8]\) 有 4 人。
| 分组区间 | 频数 | 频率 | 高（频率÷组距） |
|---|---|---|---|
| \([0,2)\) | 2 | 0.1 | \(0.1 \div 2 = 0.05\) |
| \([2,4)\) | 6 | 0.3 | \(0.3 \div 2 = 0.15\) |
| \([4,6)\) | 8 | 0.4 | \(0.4 \div 2 = 0.20\) |
| \([6,8]\) | 4 | 0.2 | \(0.2 \div 2 = 0.10\) |
检查：频率总和 \(0.1+0.3+0.4+0.2 = 1.0\)。运动不低于 4 小时的频率为 \(0.4+0.2 = 0.6\)，估计全校约 60% 同学不低于 4 小时。
自己试试：频率分布直方图的组距是 \(5\)，某一组矩形的高是 \(0.04\)。这一组的频率是？
B。频率 \(=\) 面积 \(=\) 高 \(\times\) 组距 \(= 0.04 \times 5 = 0.2\)。选 A 的同学误把纵轴的高当成了频率；选 C 是除了组距。
3. 百分位数算法
③ 若 \(i\) 不是整数：取第 \(\lceil i \rceil\) 位数据（向上取整，如 \(2.5 \to 3\)）；
若 \(i\) 是整数：取第 \(i\) 位与第 \(i+1\) 位两数的算术平均值。
例 2（百分位数计算）
10 个数据：\(13,15,8,20,11,17,9,14,18,12\)。求第 25 百分位数与第 80 百分位数。
① 排序：\(8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 20\)。
② 第 25 百分位数：\(i = 10 \times 25\% = 2.5\)（非整数），取第 3 位，即 11。
③ 第 80 百分位数：\(i = 10 \times 80\% = 8\)（整数），取第 8 位和第 9 位平均：\(\dfrac{17+18}{2} = \mathbf{17.5}\)。
自己试试：数据 \(9,2,15,5,12,4,10,7\) 的第 \(75\) 百分位数是？
B。排序得 \(2,4,5,7,9,10,12,15\)，\(i=8\times 75\% = 6\) 为整数，取第 6 位（10）与第 7 位（12）的平均值 \(\frac{10+12}{2}=11\)。选 A 是未取平均；选 D 是没排序。
二、集中趋势与离散程度三步思维链
4. 直方图估计数字特征三步思维链
题目：已知某样本频率分布直方图中，各区间及高分别为：\([0, 2)\) 高 0.05，\([2, 4)\) 高 0.15，\([4, 6)\) 高 0.20，\([6, 8]\) 高 0.10（组距均为 2）。求样本估计的平均数与中位数。
- 给直方图的组距和柱高 → 先用“频率=组距×高”恢复各组频率。
- 问中位数或百分位数 → 先累计频率定位所在组，再按组内线性估计。
① 求估计平均数：取各组中点（1, 3, 5, 7），乘以对应频率：
\(\bar{x} = 1 \times 0.10 + 3 \times 0.30 + 5 \times 0.40 + 7 \times 0.20 = 0.1 + 0.9 + 2.0 + 1.4 = \mathbf{4.4}\)。
② 求估计中位数：中位数将总面积（1.0）分为左右各 0.5。
前两组累计频率：\(0.10 + 0.30 = 0.40 < 0.5\)，说明中位数落在第三组 \([4, 6)\) 内。
第三组需要贡献的面积为：\(0.50 - 0.40 = 0.10\)。
该组高为 0.20，故所占宽度为：\(\dfrac{0.10}{0.20} = 0.5\)。
所以中位数 \(M_e = 4 + 0.5 = \mathbf{4.5}\)！
② 估计平均数务必是“组中值 \(\times\) 频率”，千万别拿组中值乘以高度！
自己试试：数据 \(6,2,9,4,4\) 的中位数是？
B。先排序：\(2,4,4,6,9\)，正中间是 \(4\)。选 A 是没排序；5 是平均数，不是中位数。
5. 方差与标准差
例 4（方差计算）
甲：\(7,8,8,8,9\)，\(\bar{x}=8\)。离差平方和：\((-1)^2+0+0+0+1^2 = 2\)。方差 \(s^2 = \dfrac{2}{5} = 0.4\)。
乙：\(6,7,8,9,10\)，\(\bar{x}=8\)。离差平方和：\((-2)^2+(-1)^2+0+1^2+2^2 = 10\)。方差 \(s^2 = \dfrac{10}{5} = 2.0\)。
因为 \(s_{\footnotesize\text{甲}}^2 < s_{\footnotesize\text{乙}}^2\)，甲的成绩波动更小，显著更稳定！
自己试试：数据 \(2,4,6\) 的方差是？
A。\(\bar{x}=4\)，离差平方为 \(4,0,4\)，总和为 8，除以 \(n=3\) 得 \(\frac{8}{3}\)。选 C 是忘记除以 3；选 B 是除以了 \(n-1=2\)，高考教材分母一律为 \(n\)。
数据整体线性变换：若 \(y_i = a x_i + b\)，则样本均值 \(\bar{y} = a\bar{x} + b\)，方差 \(s_y^2 = a^2 s_x^2\)，标准差 \(s_y = |a|s_x\)。常数平移不改变方差，倍数缩放使方差乘以平方。
从定义检验：\(y_i-\bar y=a(x_i-\bar x)\)，各离差平方平均后便得方差乘 \(a^2\)；标准差开平方得到 \(|a|\)，包括 \(a=0\) 的情形。
合并方差公式：\(s^2 = \frac{m}{m+k}[s_1^2 + (\bar{x}_1 - \bar{x})^2] + \frac{k}{m+k}[s_2^2 + (\bar{x}_2 - \bar{x})^2]\)。
这里两组人数 \(m,k>0\)，\(\bar x\) 为合并均值，各方差均按组内人数作分母。每组写成 \(x-\bar x=(x-\bar x_i)+(\bar x_i-\bar x)\) 再平方求和；由于组内离差和为 \(0\)，交叉项消失，留下组内方差与组间均值差平方两项。
6. 三大翻车现场与反例微图解
❌ 看到柱子高 0.2，就认为该组频率是 0.2。
✔ 高是频率÷组距：必须用高乘以组距（即矩形面积）才是真实频率！直方图比的是面积，不是高度。
❌ 最高的柱子落在 \([4, 6)\)，就断定中位数是 5.0。
✔ 面积平分线才是中位数：最高矩形只代表众数组！中位数是使左侧面积累计达到 0.5 的分割线位置，通常偏离组中点。
❌ 甲组方差 1，乙组方差 1，合并方差也直接写 1。
✔ 遗漏组间离差：合并方差公式包含两项：加权组内方差 + 组间均值差带来的离差平方！若两组均值不同，合并方差必然明显放大。
组 A （宽 2） 与组 B （宽 6） 纵轴高度完全相同（均为 0.10），但组 B 矩形面积（频率 0.60）是组 A（频率 0.20）的整整 3 倍！单看高度会被严重欺骗！
① 拖数据点：直方图和几个数一起变
下面每个圆点是一个数据（\(0\) 到 \(10\) 的整数）。拖动圆点（或选中后按方向键，Delete 删掉它），上面的频率分布直方图（组距 \(2\)，最后一组含 \(10\)）、平均数、中位数、方差跟着变。试试把最右边的点一路拖到 \(10\)：平均数线动了，中位数线呢？
② 进阶：第 \(p\) 百分位数，按教材的算法
用的是上面 ① 里的数据，已经排好序，格子下面是位次。拖滑块改 \(p\)，看 \(i=n\times p\%\) 是不是整数、取的是哪一位（或哪两位）。在 ① 里加减数据，这里也跟着变。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 样本量是 \(200\)，频率分布直方图中 \([20,30)\) 这一组矩形的高是 \(0.025\)。这一组的频数是？
C。频率 \(=0.025\times10=0.25\)，频数 \(=200\times0.25=50\)。选 A 是把高 \(0.025\) 当频率直接乘了 \(200\)；选 D 只算到频率，没乘样本量。
2. \(12\) 名同学一分钟跳绳（次），已排好序：120，125，130，132，135，138，140，142，145，150，155，160。第 \(70\) 百分位数是？
C。\(i=12\times70\%=8.4\)，不是整数，往上取整，取第 \(9\) 位：\(145\)。选 A 是往下取了第 \(8\) 位；选 B 是把“取两位平均”用在了 \(i\) 不是整数的时候。
易错
3. 一张直方图的分组不等宽：\([0,10)\) 这一组的高是 \(0.02\)，\([10,30)\) 这一组的高也是 \(0.02\)。哪一组的频率大？
C。比的是面积：\(0.02\times10=0.2\)，\(0.02\times20=0.4\)，后者是前者的 \(2\) 倍。纵轴是“频率÷组距”，组距不同时只看高度会看错。
4. 按本书的定义，数据 \(1,3,5,7\) 的方差是？
A。\(\bar x=4\)，差的平方 \(9,1,1,9\)，和 \(20\)，除以 \(n=4\) 得 \(5\)。B 是除以 \(n-1=3\)，本书不用这个分母；C 忘了除；D 是标准差，不是方差。
5. 甲组 \(20\) 人，平均分 \(70\)，方差 \(4\)；乙组 \(30\) 人，平均分 \(80\)，方差 \(4\)。两组合起来 \(50\) 人的平均分和方差是？
C。平均数按人数加权：\(\dfrac{20\times70+30\times80}{50}=\dfrac{3800}{50}=76\)，不是 \(\dfrac{70+80}{2}=75\)。
方差不能只看两组各自的 \(4\)：两组平均数不一样，本身就是波动。甲组每人离 \(76\) 的平方，平均是 \(4+(70-76)^2=40\)；乙组是 \(4+(80-76)^2=20\)。再按人数加权：\(\dfrac{20\times40+30\times20}{50}=\dfrac{1400}{50}=28\)。
挑战
6. 抽查 \(100\) 户居民的月用水量（吨），只给了分组频率：\([0,2)\) \(0.1\)，\([2,4)\) \(0.3\)，\([4,6)\) \(0.35\)，\([6,8]\) \(0.25\)。假定组内数据均匀分布，估计中位数约是？
B。前两组频率 \(0.1+0.3=0.4\)，到 \(0.5\) 还差 \(0.1\)。\([4,6)\) 组频率 \(0.35\)、组距 \(2\)，要走 \(2\times\dfrac{0.1}{0.35}=\dfrac47\)，所以中位数约 \(4+\dfrac47\approx4.57\)。
A 的 \(4.5\) 是用组中点估计的平均数：\(1\times0.1+3\times0.3+5\times0.35+7\times0.25=4.5\)；C 只取了中位数所在组的中点。这些都是估计：只有分组时，原来的 \(100\) 个数已经找不回来了。
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 24.1 数据的集中趋势初中离散数据的平均数、中位数、众数，在高中扩展到频率分布直方图上的样本数字特征估计。
- 初中 · 24.2 数据的离散程度初中引入的方差与标准差公式，在高中直接用于衡量总体稳定性并推导分层抽样的总体方差公式。
- 初中 · 24.3 数据的四分位数新版初中教材新增的四分位数（下四分位数、中位数、上四分位数），在高中直接推广为任意第 $p$ 百分位数。