2009 年黑龙江预赛

已知复数 $z=1-i$，则

1. (A)

   $-2i$

2. (B)

   $2i$

3. (C)

   $2$

4. (D)

   $-2$

若非空集合

则能使 $A\subseteq A\cap B$ 成立的 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $\{a\mid 1\le a\le 9\}$

2. (B)

   $\{a\mid 6\le a\le 9\}$
   

3. (C)

   $\{a\mid a\le 9\}$

4. (D)

   $\varnothing$

下面的命题中，正确的个数是（ ）。

1. (1)

   将函数 $y=4\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位，得到函数 $y=4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ 的图象；

2. (2)

   函数 $y=4\cos (2x+\phi )$ 的图象关于点 $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$ 对称的充要条件是 $\phi =k\pi +\frac{\pi }{6}(k\in \mathbb{Z})$；

3. (3)

   函数 $y=\frac{4\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$ 的周期为 $\frac{\pi }{2}$；

4. (4)

   化简 $\sqrt{1+\sin 2}-\sqrt{1-\sin 2}$ 等于 $2\sin 1$。

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $0$

设命题 $P$：关于 $x$ 的不等式

的解集相同；命题 $Q$：

则命题 $Q$ 是命题 $P$ 的（ ）。

1. (A)

   充要条件

2. (B)

   充分不必要条件

3. (C)

   必要不充分条件

4. (D)

   既不充分也不必要条件

已知平面区域

若向区域 $\Omega$ 上随机投一点 $P$，则点 $P$ 落入区域 $A$ 的概率为（ ）。

1. (A)

   $\frac{2}{3}$

2. (B)

   $\frac{1}{3}$

3. (C)

   $\frac{2}{9}$

4. (D)

   $\frac{1}{9}$

已知不等式

恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $0\le m\le 4$

2. (B)

   $1\le m\le 4$

3. (C)

   $m\ge 4$ 或 $m\le 0$

4. (D)

   $m\ge 1$ 或 $m\le 0$

正四棱锥 $S-ABCD$ 中，侧棱与底面所成的角为 $\alpha$，侧面与底面所成的角为 $\beta$，侧面等腰三角形的底角为 $\gamma$，相邻两侧面所成的二面角为 $\theta$，则 $\alpha ,\beta ,\gamma ,\theta$ 的大小关系是（ ）。

1. (A)

   $\alpha <\beta <\gamma <\theta$

2. (B)

   $\alpha <\beta <\theta <\gamma$

3. (C)

   $\theta <\alpha <\gamma <\beta$

4. (D)

   $\alpha <\gamma <\beta <\theta$

某电影院第一排共有 $9$ 个座位，现有 $3$ 名观众就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的坐法种数共有（ ）。

1. (A)

   $36$

2. (B)

   $42$

3. (C)

   $48$

4. (D)

   $54$

设 $a>b>0$，那么

的最小值是（ ）。

1. (A)

   $2$

2. (B)

   $3$

3. (C)

   $4$

4. (D)

   $5$

定义 $d(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}-\vec{b}|$ 为两个向量 $\vec{a},\vec{b}$ 间的“距离”。若向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足：

则（ ）。

1. (A)

   $\vec{a}\perp \vec{b}$

2. (B)

   $\vec{a}\perp (\vec{a}-\vec{b})$

3. (C)

   $\vec{b}\perp (\vec{a}-\vec{b})$

4. (D)

   $(\vec{a}+\vec{b})\perp (\vec{a}-\vec{b})$

已知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且

则 $f(-1)$ 与 $f(1)$ 的大小关系是（ ）。

1. (A)

   $f(-1)=f(1)$

2. (B)

   $f(-1)>f(1)$

3. (C)

   $f(-1)<f(1)$

4. (D)

   不确定

若关于 $x$ 的方程

的解集中只含有一个元素，则 $a$ 等于。

设数列 $\{a_n\}$ 的各项都是正数，$S_n$ 是它的前 $n$ 项之和。对于任意正整数 $n$，$a_n$ 与 $2$ 的等差中项等于 $S_n$ 与 $2$ 的等比中项，则该数列的通项公式为。

在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=2$，$A{A}_1=AD=1$。点 $E,F,G$ 分别是棱 $A{A}_1,C_1{D}_1,BC$ 的中点，那么四面体 $B_1-EFG$ 的体积是。

已知椭圆的离心率为 $e$，两焦点分别为 $F_1,F_2$。抛物线 $C$ 以 $F_1$ 为顶点、$F_2$ 为焦点，点 $P$ 为抛物线和椭圆的一个交点。若

则 $e=$。

某公司有 $10$ 万元资金用于投资。若投资甲项目，一年后可能获利 $10\%$、可能损失 $10\%$、可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}$；若投资乙项目，一年后可能获利 $20\%$，也可能损失 $20\%$，这两种情况发生的概率分别为 $\alpha$ 和 $\beta$（$\alpha +\beta =1$）。

1. (1)

   如果把 $10$ 万元投资甲项目，用 $\xi$ 表示投资收益（收益=回收资金$-$投资资金），求 $\xi$ 的概率分布及 $E\xi$；

2. (2)

   若把 $10$ 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求 $\alpha$ 的取值范围。

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且满足

1. (1)

   求角 $B$ 的大小；

2. (2)

   若 $\lambda =\sqrt{3}$，试判断 $△ABC$ 的形状；

3. (3)

   若 $△ABC$ 为钝角三角形，求实数 $\lambda$ 的取值范围。

如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $BD,CA$ 的延长线相交于点 $E$，$EF\perp BA$ 的延长线于点 $F$。

求证：

1. (1)

   $\angle DEA=\angle DFA$；

2. (2)

   $A{B}^2=BE\cdot BD-AE\cdot AC$。

已知函数

1. (1)

   求函数 $f(x)$ 的单调区间；

2. (2)

   若不等式

   $$\frac{1}{n^2}+\lambda \ge \ln \left(1+\frac{2}{n}\right)$$

   对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围。

若 $F_1,F_2$ 分别为双曲线

的下、上焦点，$O$ 为坐标原点，$P$ 在双曲线的下支上，点 $M$ 在准线上，且满足

1. (1)

   求此双曲线的离心率 $e$；

2. (2)

   若此双曲线过 $N(\sqrt{3},2)$，求此双曲线的方程；

3. (3)

   若过 $N(\sqrt{3},2)$ 的双曲线的虚轴端点分别为 $B_1,B_2$（$B_2$ 在 $x$ 轴的正半轴上），点 $A,B$ 在双曲线上，且 $\overrightarrow{B_{2}A}=\mu \overrightarrow{B_{2}B}$，求 $\overrightarrow{B_{1}A}\perp \overrightarrow{B_{1}B}$ 时直线 $AB$ 的方程。

为了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校 $100$ 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图。由于不慎将部分数据丢失，但知道前 $4$ 组的频数从左到右依次是等比数列 $\{a_n\}$ 的前四项，后 $6$ 组的频数从左到右依次是等差数列 $\{b_n\}$ 的前六项。

1. (1)

   求等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求最大频率；

3. (3)

   设

   $$\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+\cdots +\frac{c_n}{a_n}=b_{n+1}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }),$$

   求数列 $\{c_n\}$ 前 $2007$ 项的和 $S_{2007}$。