2009 年黑龙江预赛 · 第 17 题

某公司有 $10$ 万元资金用于投资。若投资甲项目，一年后可能获利 $10\%$、可能损失 $10\%$、可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为 $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{4}$；若投资乙项目，一年后可能获利 $20\%$，也可能损失 $20\%$，这两种情况发生的概率分别为 $\alpha$ 和 $\beta$（$\alpha +\beta =1$）。

1. (1)

   如果把 $10$ 万元投资甲项目，用 $\xi$ 表示投资收益（收益=回收资金$-$投资资金），求 $\xi$ 的概率分布及 $E\xi$；

2. (2)

   若把 $10$ 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求 $\alpha$ 的取值范围。