2014 年黑龙江预赛

已知集合 $A=\left\{1,2,\frac{1}{2}\right\}$，集合 $B=\{y\mid y=x^2,x\in A\}$，则 $A\cap B=()$。
(A) $\left\{\frac{1}{2}\right\}$  (B) $\{2\}$  (C) $\{1\}$  (D) $\varnothing$

设复数 $x=\frac{1+i}{1-i}$（$i$ 是虚数单位），则

(A) $2^{1007}i$  (B) $-2^{1007}i$  (C) $-2^{1005}$  (D) $-2^{1004}$

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条渐近线与抛物线 $y=x^2+1$ 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )。
(A) $\frac{5}{4}$  (B) $5$  (C) $\frac{\sqrt{5}}{2}$  (D) $\sqrt{5}$

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且

则角 $A$ 的大小为( )。
(A) $\frac{\pi }{6}$  (B) $\frac{\pi }{4}$  (C) $\frac{\pi }{3}$  (D) $\frac{2\pi }{3}$

已知在三棱锥 $S-ABC$ 内任取一点 $P$，使得

的概率是( )。
(A) $\frac{7}{8}$  (B) $\frac{3}{4}$  (C) $\frac{1}{2}$  (D) $\frac{1}{4}$

如图是某几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为 $2$ 的等腰直角三角形，则该几何体的体积是( )。

(A) $\frac{8}{3}$  (B) $\frac{8\sqrt{2}}{3}$  (C) $\frac{4}{3}$  (D) $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人。现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )。
(A) $24$ 种  (B) $28$ 种  (C) $36$ 种  (D) $48$ 种

已知点 $E,F$ 分别是正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱 $AB,A{A}_1$ 的中点，点 $M,N$ 分别是线段 $D_{1}E,C_{1}F$ 上的点，则满足与平面 $ABCD$ 平行的直线 $MN$ 有( )。

(A) $0$ 条  (B) $1$ 条  (C) $2$ 条  (D) 无数条

设 $a_n$ 是 $(\sqrt{x}+3{)}^n$（$n\ge 2$ 且 $n\in \mathbb{N}$）的展开式中 $x$ 的一次项的系数，则

的值为( )。
(A) $18$  (B) $17$  (C) $-18$  (D) $19$

已知直线 $x+y-k=0$（$k>0$）与圆 $x^2+y^2=4$ 交于不同的两点 $A,B$，$O$ 是坐标原点，且有

那么 $k$ 的取值范围是( )。
(A) $(\sqrt{3},+\infty )$  (B) $[\sqrt{2},+\infty )$
(C) $[\sqrt{2},2\sqrt{2})$  (D) $[\sqrt{3},2\sqrt{2})$

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=n\cdot p^n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$0<p<1$），下面说法正确的是( )。

1. ①

   当 $p=\frac{1}{2}$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为递减数列；

2. ②

   当 $\frac{1}{2}<p<1$ 时，数列 $\{a_n\}$ 不一定有最大项；

3. ③

   当 $0<p<\frac{1}{2}$ 时，数列 $\{a_n\}$ 为递减数列；

4. ④

   当 $\frac{p}{1-p}$ 为正整数时，数列 $\{a_n\}$ 必有两项相等的最大项。

(A) ①②  (B) ③④  (C) ②④  (D) ②③

如图，在直角梯形 $ABCD$ 中，$AB\perp AD$，$AD=DC=1$，$AB=3$。动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心且与直线 $BD$ 相切的圆内运动，若

则 $\alpha +\beta$ 的取值范围是( )。

(A) $(0,\frac{4}{3})$  (B) $(0,\frac{5}{3})$  (C) $(1,\frac{4}{3})$  (D) $(1,\frac{5}{3})$

已知正三棱锥 $P-ABC$，点 $P,A,B,C$ 都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上，若 $PA,PB,PC$ 两两互相垂直，则球心到截面 $ABC$ 的距离为。

已知

若对任意的 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$，都有 $f(x_1)\le g(x_2)$ 成立，则实数 $k$ 的取值范围为。

设 $f_1(x)=\frac{2}{1+x}$，$f_{n+1}(x)=f_1[f_n(x)]$，且

则 $a_{2014}=$。

已知函数 $f(x)=kx$，$g(x)=\frac{\ln x}{x}$，如果关于 $x$ 的方程 $f(x)=g(x)$ 在区间 $\left[\frac{1}{e},e\right]$ 内有两个实数解，那么实数 $k$ 的取值范围是。

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且

(1) 求角 $A$ 的大小；
(2) 已知 $a=\sqrt{3}$，$D$ 点为边 $BC$ 的中点，试求 $AD$ 的取值范围。

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp AC$，$AC=AB=A{A}_1$。$E,F$ 分别是棱 $BC,A_{1}A$ 的中点，$G$ 为棱 $C{C}_1$ 上的一点，且 $C_{1}F\Vert$ 平面 $AEG$。

(1) 求 $\frac{CG}{C{C}_1}$ 的值；
(2) 求证：$EG\perp A_{1}C$；
(3) 求二面角 $A_1-AG-E$ 的余弦值。

如图,设 $D$ 是锐角 $△ABC$ 内部的一个点,使得

计算比值

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若 $ab=2\sqrt{3}$，离心率 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

1. (1)

   求椭圆方程；

2. (2)

   现有一条斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过椭圆的右焦点 $F$，且与椭圆交于 $A,B$ 两点，$P$ 为直线 $x=3$ 上的一点，试问：是否存在这样的直线 $l$，使 $△ABP$ 为等边三角形？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由。

已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$。

1. (1)

   对一切 $x\in (0,+\infty )$，$f(x)\ge g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

2. (2)

   当 $a=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[m,m+3]$（$m>0$）上的最值；

3. (3)

   证明：对一切 $x\in (0,+\infty )$，都有

   $$\ln x+1>\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$$

   成立。