2015 年黑龙江预赛

设集合 $A=\{-1,0,2\}$，集合 $B=\{-x\mid x\in A\text{ 且 }2-x\notin A\}$，则 $B=$（　　）.

1. (A)

   $\{1\}$

2. (B)

   $\{-2\}$

3. (C)

   $\{-1,-2\}$

4. (D)

   $\{-1,0\}$

设 $k={\int }_0^{\pi }(\sin x-\cos x)\mathrm{d}x$，若

则 $a_1+a_2+\cdots +a_8=$（　　）.

1. (A)

   $-1$

2. (B)

   $0$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $256$

函数

的图象大致是（　　）.

已知函数 $f(x)={\sin }^{5}x+1$，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，求

的值，结果是（　　）.

1. (A)

   $\frac{1}{6}+\frac{\pi }{2}$

2. (B)

   $0$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $\pi$

设正项等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且

则数列 $\{a_n\}$ 的公比为（　　）.

1. (A)

   $\frac{1}{8}$

2. (B)

   $\frac{1}{4}$

3. (C)

   $\frac{1}{2}$

4. (D)

   $1$

某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为 $1$ 的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为（　　）.

1. (A)

   $1$

2. (B)

   $\frac{1}{2}$

3. (C)

   $\frac{1}{4}$

4. (D)

   $\frac{1}{8}$

设变量 $x,y$ 满足约束条件

目标函数 $z=abx+y$（$a,b$ 均大于 $0$）的最大值为 $8$，则 $a+b$ 的最小值为（　　）.

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $4$

3. (C)

   $5$

4. (D)

   $6$

设 $a>0,b>0$，则下面不等式中不恒成立的是（　　）.

1. (A)

   $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\ge \sqrt{ab}$

2. (B)

   $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

3. (C)

   $\sqrt{|a-b|}\ge \sqrt{a}-\sqrt{b}$

4. (D)

   $a^2+b^2+1>a+b$

设 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若

则称 $A_3,A_4$ 调和分割 $A_1,A_2$。已知平面上的点 $C,D$ 调和分割点 $A,B$，则下面说法正确的是（　　）.

1. (A)

   $C$ 可能是线段 $AB$ 的中点

2. (B)

   $D$ 可能是线段 $AB$ 的中点

3. (C)

   $C,D$ 可能同时在线段 $AB$ 上

4. (D)

   $C,D$ 不可能同时在线段 $AB$ 的延长线上

如图所示棱锥 $P$-$ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是正方形，边长为 $a$，$PD=a$，$PA=PC=\sqrt{2}a$，这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（　　）.

1. (A)

   $(\sqrt{2}-1)a$

2. (B)

   $\sqrt{2}a$

3. (C)

   $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)a$

4. (D)

   $a$

设等差数列 $\{a_n\}$ 满足

公差 $d\in (-1,0)$。若当且仅当 $n=9$ 时，数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 取得最大值，则首项 $a_1$ 的取值范围是（　　）.

1. (A)

   $\left(\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}\right)$

2. (B)

   $\left(\frac{4\pi }{3},\frac{3\pi }{2}\right)$

3. (C)

   $\left[\frac{7\pi }{6},\frac{4\pi }{3}\right]$

4. (D)

   $\left[\frac{4\pi }{3},\frac{3\pi }{2}\right]$

若 $P$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{15}=1$ 右支上一点，$M,N$ 分别是圆 $(x+4{)}^2+y^2=4$ 和 $(x-4{)}^2+y^2=1$ 上的点，则 $|PM|-|PN|$ 的最大值为。

如图，在 $△ABC$ 中，点 $O$ 是 $BC$ 中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $AB,AC$ 于不同两点 $M,N$。若 $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}=n\overrightarrow{AN}$，则 $m+n$ 的值为。

若 $x,y\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$，$a\in \mathbb{R}$，且

则 $\cos (x+2y)$ 的值为。

若函数 $y=f(x)$ 对定义域的每一个值 $x_1$，在其定义域内都存在唯一的 $x_2$，使 $f(x_1)f(x_2)=1$ 成立，则称该函数为“依赖函数”。给出以下命题：

1. 1、

   $y=\frac{1}{x^2}$ 是“依赖函数”；

2. 2、

   $y=\sqrt{2}+\sin x(x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}])$ 是“依赖函数”；

3. 3、

   $y=2^x$ 是“依赖函数”；

4. 4、

   $y=\ln x$ 是“依赖函数”；

5. 5、

   若 $y=f(x),y=g(x)$ 都是“依赖函数”，且定义域相同，则 $y=f(x)\cdot g(x)$ 也是“依赖函数”。

其中所有真命题的序号是。

（10分）已知函数 $f(x)={\log }_2(a^x-b^x)$，且 $f(1)=1,f(2)={\log }_{2}12$。

1. (1)

   求 $a,b$ 的值；

2. (2)

   当 $x\in [1,2]$ 时，求 $f(x)$ 的最大值。

（12分）在一个盒子中，放有标号分别为 $1,2,3$ 的三张卡片。现从这个盒子中有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 $x,y$，记 $\xi =|x-2|+|y-x|$。

1. (1)

   求随机变量 $\xi$ 的最大值，并求事件“$\xi$ 取得最大值”的概率；

2. (2)

   求随机变量 $\xi$ 的分布列和数学期望。

（12分）已知向量 $\mathbf{m}=(\sqrt{3}\sin \omega x,\cos \omega x)$，$\mathbf{n}=(\cos \omega x,-\cos \omega x)$（$\omega >0$），函数 $f(x)=\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}$ 的最小正周期为 $\frac{\pi }{2}$。

1. (1)

   求 $\omega$ 的值；

2. (2)

   设 $△ABC$ 的三边 $a,b,c$ 满足 $b^2=ac$，且边 $b$ 所对的角为 $x$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实数解，求实数 $k$ 的取值范围。

（12分）如图，$PD$ 垂直于梯形 $ABCD$ 所在的平面，$\angle ADC=\angle BAD=90^{\circ }$，$F$ 为 $PA$ 中点，$PD=\sqrt{2}$，$AB=AD=\frac{1}{2}CD=1$，四边形 $PDCE$ 为矩形，线段 $PC$ 交 $DE$ 于点 $N$。

1. (1)

   求证：$AC\Vert$ 平面 $DEF$；

2. (2)

   求二面角 $A$-$BC$-$P$ 的大小；

3. (3)

   在线段 $EF$ 上是否存在一点 $Q$，使得 $BQ$ 与平面 $BCP$ 所成角的大小为 $\frac{\pi }{6}$？若存在，请求出 $FQ$ 的长；若不存在，请说明理由。

（12分）如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，$|AF|$ 的最大值是 $M$，$BF$ 的最小值是 $m$，满足 $M\cdot m=\frac{3}{4}{a}^2$。

1. (1)

   求该椭圆的离心率；

2. (2)

   设线段 $AB$ 的中点为 $G$，$AB$ 的垂直平分线与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别交于 $D,E$ 两点，$O$ 是坐标原点。记 $△GFD$ 的面积为 $S_1$，$△OED$ 的面积为 $S_2$，求 $\frac{2S_1{S}_2}{S_1^2+S_2^2}$ 的取值范围。

（12分）设函数 $f(x)=\frac{x}{\ln x}-ax$。

1. (1)

   若函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上为单调递减函数，求实数 $a$ 的最小值；

2. (2)

   若存在 $x_1,x_2\in [e,e^2]$，使 $f(x_1)\le f^{\prime }(x_2)+a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。