2011 年黑龙江预赛

设

求集合 ${\complement }_{\mathbb{R}}(A\cap B)$。选项为

1. (A)

   $\mathbb{R}$

2. (B)

   $\varnothing$

3. (C)

   $\{0\}$

4. (D)

   $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne 0\}$

下列函数中，最小正周期为 $\pi$ 且图象关于直线 $x=\frac{5\pi }{12}$ 对称的是

1. (A)

   $y=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)$

2. (B)

   $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\right)$

3. (C)

   $y=\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

4. (D)

   $y=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$

已知向量 $\mathbf{m},\mathbf{n}$ 的夹角为 $\frac{\pi }{6}$，且 $|\mathbf{m}|=\sqrt{3},|\mathbf{n}|=2$。在 $△ABC$ 中，

若 $D$ 为 $BC$ 边的中点，求 $|\overrightarrow{AD}|$。选项为 $2,4,6,8$。

若对任意 $x\in \mathbb{R}$，不等式 $|x|\ge 4ax$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

1. (A)

   $a<-\frac{1}{4}$

2. (B)

   $|a|\le \frac{1}{4}$

3. (C)

   $|a|<\frac{1}{4}$

4. (D)

   $a\ge \frac{1}{4}$

已知三个不同的平面 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 和两条不重合的直线 $m,n$，判断下列命题的真值：

1. (1)

   $m\Vert \alpha ,\alpha \cap \beta =n$，则 $m\Vert n$；

2. (2)

   $m\perp \alpha ,m\Vert n,n\subset \beta$，则 $\alpha \perp \beta$；

3. (3)

   $\alpha \perp \beta ,\gamma \perp \beta$，则 $\alpha \Vert \gamma$；

4. (4)

   $\alpha \cap \beta =m,m\perp \gamma$，则 $\alpha \perp \gamma$。

正确命题的个数为多少？选项为 $2,3,4,1$。

将 $5$ 个相同的篮球、$3$ 个相同的排球、$2$ 个相同的橄榄球排成一排，不同的放法有多少种？选项为 $420,1260,5040,2520$ 种。

函数

满足 $f(1)+f(a)=2$，则 $a$ 的所有可能值为

1. (A)

   $1$ 或 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

2. (B)

   $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $1$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

若点 $P$ 在椭圆

上，它到直线 $\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$ 的距离为 $\frac{6}{5}$，则点 $P$ 的个数为多少？选项为 $1,2,3,4$。

在平面直角坐标系中，$△ABC$ 三个顶点为 $A(2,1),B(-1,-1),C(1,3)$。点 $P$ 在直线 $BC$ 上运动，动点 $Q$ 满足

点 $Q$ 的轨迹方程为

1. (A)

   $2x-y-3=0$

2. (B)

   $x-2y-3=0$

3. (C)

   $x+2y-4=0$

4. (D)

   $2x+y-3=0$

已知球的半径为 $2$，球面上的三个大圆所在的平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体体积为多少？选项为 $\frac{16}{3},\frac{32}{3},\frac{64}{3},32$.

已知

是定义在 $M=\{x\mid 1\le x\le \frac{9}{4}\}$ 上的函数.对任意 $x\in M$，存在常数 $x_0\in M$，使得

则函数 $f(x)$ 在 $M$ 上的最大值为多少？选项为 $4,\frac{33}{8},6,8$.

数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2n-1$，则

已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(1.5,{\sigma }^2)$，且 $P(\xi \le 2.5)=0.78$，则 $P(\xi \le 0.5)=\underline{}.$

设 $f(x),g(x)$ 分别是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数和偶函数.当 $x<0$ 时，$F(x)=f(x)g(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上是增函数，且 $g(2)=0$，则不等式 $f(x)g(x)<0$ 的解集是.

已知

而 $\neg p$ 是 $\neg q$ 的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

已知二次函数

同时满足：(1)不等式 $f(x)\le 0$ 的解集有且只有一个元素；(2)若 $0<x_2<x_1$，总有 $f(x_2)<f(x_1)$ 成立.设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=f(n)$.

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   求 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{a_1{a}_3}+\frac{1}{a_2{a}_4}+\cdots +\frac{1}{a_n{a}_{n+2}}\right)$.

在 $△ABC$ 中，$a,b,c$ 分别为内角 $A,B,C$ 所对的边，且

1. (1)

   求 $A$ 的大小；

2. (2)

   从条件(1) $a=2$，(2) $B=45^{\circ }$，(3) $c=\sqrt{3}b$ 中选出两个可以确定 $△ABC$ 的条件，并据此求三角形面积（只需写出一个选定方案，选多种方案以第一种方案记分）.

某班主任调查全班 $50$ 名学生的学习积极性和对待班级工作的态度，数据如下：

1. (1)

   随机抽查一名学生，求抽到积极参加班级工作的学生以及抽到不积极参加且学习积极性一般学生的概率；

2. (2)

   运用独立性检验的思想方法分析学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系，并说明理由.

参考表：

在如图所示的几何体中，$EA\perp$ 平面 $ABC$，$DB\perp$ 平面 $ABC$，$AC\perp BC$，且

1. (1)

   求证：$CM\perp EM$；

2. (2)

   求直线 $CD$ 与平面 $MCE$ 所成角的大小.

已知两个动点 $A,B$ 和一个定点 $M(x_0,y_0)$ 均在抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上（$A,B$ 与 $M$ 不重合）.设 $F$ 为抛物线的焦点，$Q$ 为对称轴上一点.若

且 $|FA|,|FM|,|FB|$ 成等差数列.

1. (1)

   求 $\overrightarrow{OQ}$ 的坐标；

2. (2)

   若 $|OQ|=3,|FM|=\frac{5}{2}$，$A,B$ 两点在抛物线准线上的射影分别为 $A_1,B_1$，求四边形 $AB{B}_1{A}_1$ 面积的取值范围.

函数 $f(x)=a\ln x+1$（$a>0$）.

1. (1)

   当 $x>0$ 时，证明 $f(x)-1\ge a\left(1-\frac{1}{x}\right)$；

2. (2)

   在区间 $(1,e)$ 上 $f(x)>x$ 恒成立，求实数 $a$ 的范围；

3. (3)

   当 $a=\frac{1}{2}$ 时，证明

   $$f(2)+f(3)+\cdots +f(n+1)>2(n+1-\sqrt{n+1}),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$