2016 年黑龙江预赛

设平面点集

则 $A\cap B$ 所表示的平面图形的面积为（ ）。

1. (A)

   $\frac{4}{3}\pi$

2. (B)

   $\frac{3}{5}$

3. (C)

   $\frac{4}{7}\pi$

4. (D)

   $\frac{\pi }{2}$

设 $m>1$，在约束条件

下，目标函数 $z=x+my$ 的最大值小于 $2$，则实数 $m$ 的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $(1,1+\sqrt{2})$

2. (B)

   $(1+\sqrt{2},+\infty )$

3. (C)

   $(1,\sqrt{2})$

4. (D)

   $(3,+\infty )$

将一颗质地均匀的骰子连续投掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）。

1. (A)

   $\frac{1}{3}$

2. (B)

   $\frac{1}{12}$

3. (C)

   $\frac{1}{18}$

4. (D)

   $\frac{1}{36}$

从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ ）。

1. (A)

   $5\sqrt{2}$

2. (B)

   $6\sqrt{2}$

3. (C)

   $9$

4. (D)

   $10$

在 $△ABC$ 中，$\angle BAC=120^{\circ }$，$AB=2$，$AC=1$，$D$ 是边 $BC$ 上的一点（包括端点），则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $[2,5]$

2. (B)

   $[-5,3]$

3. (C)

   $[0,5]$

4. (D)

   $[-5,2]$

设

则 $|a_0|+|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_6|$ 的值为（ ）。

1. (A)

   $2^6$

2. (B)

   $3^6$

3. (C)

   $5^6$

4. (D)

   $7^6$

设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知

则下列结论正确的是（ ）。

1. (A)

   $S_{2013}=2013,a_{2008}<a_6$

2. (B)

   $S_{2013}=2013,a_{2008}>a_6$

3. (C)

   $S_{2013}=-2013,a_{2008}\le a_6$

4. (D)

   $S_{2013}=-2013,a_{2008}\ge a_6$

平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BD}=0$，沿 $BD$ 折成直二面角 $A-BD-C$，且

则三棱锥 $A$-$BCD$ 的外接球表面积为（ ）。

1. (A)

   $\frac{\pi }{2}$

2. (B)

   $\frac{\pi }{4}$

3. (C)

   $\frac{\pi }{48}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{2}}{24}\pi$

已知 $A,B$ 为双曲线 $E$ 的左、右顶点，点 $M$ 在 $E$ 上，$△ABM$ 为等腰三角形，且顶角为 $120^{\circ }$，则 $E$ 的离心率为（ ）。

1. (A)

   $\sqrt{5}$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $\sqrt{3}$

4. (D)

   $\sqrt{2}$

设函数

若不等式 $f(x)\le 0$ 有解，则实数 $a$ 的最小值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{2}{e}-1$

2. (B)

   $2-\frac{2}{e}$

3. (C)

   $1+2e^2$

4. (D)

   $1-\frac{1}{e}$

已知以 $T=4$ 为周期的函数

其中 $m>0$。若方程 $3f(x)=x$ 恰有 5 个实数解，则 $m$ 的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $\left(\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right)$

2. (B)

   $\left(\frac{4}{3},\sqrt{7}\right)$

3. (C)

   $\left(\frac{\sqrt{15}}{3},\frac{8}{3}\right)$

4. (D)

   $\left(\frac{\sqrt{15}}{3},\sqrt{7}\right)$

已知 $f(x)=\vec{m}\cdot \vec{n}$，其中

在 $△ABC$ 中，$\angle A$ 满足 $f(A)=2$，$\angle B$ 所对的边 $b=1$，$△ABC$ 的面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(0,3)$，直线 $L:y=2x-4$。设圆 $C$ 的半径为 $1$，圆心在直线 $L$ 上，若圆 $C$ 上存在点 $M$，使 $|MA|=2|MO|$，则圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围为。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $m+S_{2015}=-1007$，$a_{1}m>0$，则

的最小值为。

已知定义域为 $(0,+\infty )$ 的函数 $f(x)$ 满足：对任意 $x\in (0,+\infty )$，恒有 $f(2x)=2f(x)$；当 $x\in (1,2]$ 时，$f(x)=2-x$。给出如下结论：

1. 1.)

   对任意 $m\in \mathbb{Z}$，有 $f(2^m)=0$；

2. 2.)

   函数 $f(x)$ 的值域为 $[0,+\infty )$；

3. 3.)

   存在 $n\in \mathbb{Z}$，使得 $f(2^n+1)=9$；

4. 4.)

   “函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上单调递减”的充要条件是“存在 $k\in \mathbb{Z}$，使得 $(a,b)\subseteq (2^k,2^{k+1})$”。

其中所有正确结论的序号是。

已知函数

是偶函数。

1. (1)

   求 $k$ 的值；

2. (2)

   若方程 $f(x)={\log }_4\left(\frac{m}{2^x}-1\right)$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围。

已知四棱锥 $P$-$ABCD$，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的菱形，$\angle ABC=60^{\circ }$，$E$ 为 $AB$ 的中点，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PC$ 与平面 $PAD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$。

1. (1)

   在棱 $PD$ 上求一点 $F$，使 $AF\Vert$ 平面 $PEC$；

2. (2)

   求二面角 $D$-$PE$-$A$ 的余弦值。

在 $△ABC$ 中，

点 $D$ 在线段 $AC$ 上，且 $AD=2DC$，$BD=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

1. (1)

   求 $BC$ 长；

2. (2)

   求 $△DBC$ 的面积。

如图，曲线 $C_1$ 是以原点 $O$ 为中心、$F_1,F_2$ 为焦点的椭圆的一部分；曲线 $C_2$ 是以 $O$ 为顶点、$F_2(1,0)$ 为焦点的抛物线的一部分。$A\left(\frac{3}{2},\sqrt{6}\right)$ 是曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的交点。

1. (1)

   求曲线 $C_1,C_2$ 所在的椭圆和抛物线的方程；

2. (2)

   过 $F_2$ 作一条与 $x$ 轴不垂直的直线，分别与曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 依次交于 $B,C,D,E$ 四点。

   1. 1.)

      求 $△CD{F}_1$ 面积的取值范围；

   2. 2.)

      若 $G$ 为 $CD$ 中点，$H$ 为 $BE$ 中点，问

      $$\frac{|BE|\cdot |G{F}_2|}{|CD|\cdot |H{F}_2|}$$

      是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由。

已知函数

1. (1)

   若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求 $a$ 的值；

2. (2)

   若 $f(x)\ge \ln 2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。