培玉 · 一试

2018 年湖南预赛

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第 3 题

第3题（填空题）

从 $- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4$ 中任取三个不同的数，作为二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq = 0$ ）的系数。若图象过原点且顶点在第一或第三象限，这样的二次函数有多少个？

第 4 题

第4题（填空题）

已知 $n$ 为正整数，且 $\frac{n ^{2} + 3 n - 10}{n ^{2} + 6 n - 16}$ 是既约分数，求该分数的值。

第 5 题

第5题（填空题）

函数 $f (x) = sin x + 2∣ sin x ∣$ ， $x \in [0, 2 π]$ 。若其图象与直线 $y = k$ 恰有两个不同的交点，求 $k$ 的取值范围。

第 6 题

第6题（填空题）

设实数 $a, b$ 满足 $∣ ∣ a ∣ - (a + b) ∣ < ∣ a - ∣ a + b ∣ ∣$ ，则 $a, b$ 的正、负符号分别为。

第 7 题

第7题（填空题）

在正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点。求异面直线 $EF$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值。

第 9 题

第9题（填空题）

$(∣ x ∣ + ∣ x ∣^{- 1} - 2)^{3}$ 的展开式中常数项为多少？

第 10 题

第10题（填空题）

在半径为 $R$ 的球内作内接圆柱，求内接圆柱全面积的最大值。

第 11 题

第11题（解答题）

已知抛物线 $C_{1}$ 的顶点为 $(2 - 1, 1)$ 、焦点为 $(2 - \frac{3}{4}, 1)$ ，另一抛物线 $C_{2}$ 的方程为 $y^{2} - a y + x + 2 b = 0$ 。若 $C_{1}, C_{2}$ 在一个交点处的切线互相垂直，试证 $C_{2}$ 必过定点，并求该定点坐标。

第 12 题

第12题（解答题）

如图，在凸四边形 $A BC D$ 中， $M$ 为边 $A B$ 的中点，且 $MC = M D$ 。分别过点 $C, D$ 作边 $BC, A D$ 的垂线，设两条垂线的交点为 $P$ 。过点 $P$ 作 $PQ ⊥ A B$ 于 $Q$ 。求证： $∠ PQC = ∠ PQ D$ 。

第 14 题

第14题（解答题）

已知数列 ${a_{n}}$ 的奇数项是首项为 $1$ 的等差数列，偶数项是首项为 $2$ 的等比数列。设前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{5} = 2 a_{4} + a_{5}$ ， $a_{9} = a_{3} + a_{4}$ 。

(1)
求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
若 $a_{m} a_{m + 1} = a_{m + 2}$ ，求正整数 $m$ ；
(3)
是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{S _{2 m}}{S _{2 m - 1}}$ 恰好为数列 ${a_{n}}$ 中的一项？若存在，求出所有满足条件的 $m$ 。

题序待核对（列表 11）

第2题（填空题）

若函数 $y = 3 cos (2 x + φ)$ 的图象关于点 $(\frac{4 π}{3}, 0)$ 中心对称，求 $∣ φ ∣$ 的最小值。

题序待核对（列表 12）

第3题（填空题）

如图， $A$ 与 $P$ 分别是单位圆 $O$ 上的定点与动点。角 $x$ 的始边为射线 $O A$ ，终边为射线 $OP$ ；过点 $P$ 作直线 $O A$ 的垂线，垂足为 $M$ 。将点 $M$ 到直线 $OP$ 的距离表示为 $x$ 的函数 $f (x)$ ，求 $f (x)$ 。

题序待核对（列表 13）

第4题（填空题）

已知二面角 $α - l - β$ 为 $6 0^{\circ}$ 。动点 $P, Q$ 分别在面 $α, β$ 内， $P$ 到 $β$ 的距离为 $3$ ， $Q$ 到 $α$ 的距离为 $23$ 。求 $P, Q$ 两点之间距离的最小值。

题序待核对（列表 14）

第5题（填空题）

如图，将边长为 $1$ 的正三角形分成四个全等的正三角形。第一次挖去中间一个小正三角形，再从剩下的三个小正三角形中分别挖去中间小三角形，保留它们的边，重复此过程得到谢尔宾斯基三角垫。设 $A_{n}$ 为第 $n$ 次挖去的小三角形面积之和，求前 $n$ 次挖去的所有小三角形面积之和。

题序待核对（列表 15）

第6题（填空题）

若 $3 sin^{3} x + cos^{3} x = 3$ ，求 $sin^{2018} x + cos^{2018} x$ 的值。

题序待核对（列表 16）

第7题（填空题）

如图，边长为 $1$ 的正方形 $A BC D$ 沿 $x$ 轴正向滚动：先以 $A$ 为中心顺时针旋转，当 $B$ 落在 $x$ 轴上时，再以 $B$ 为中心顺时针旋转，如此继续。设顶点 $C$ 滚动时的轨迹方程为 $y = f (x)$ ，求 $f (x)$ 在 $[2017, 2018]$ 上的表达式。

题序待核对（列表 17）

第9题（填空题）

设 $a + b = 1$ ， $b > 0$ ， $a \neq = 0$ ，求 $\frac{1}{∣ a ∣} + \frac{2∣ a ∣}{b}$ 的最小值。

题序待核对（列表 18）

第11题（解答题）

如图，在四棱锥 $S - A BC D$ 中， $S D ⊥$ 底面 $A BC D$ ， $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B = A D = 1$ ， $D C = S D = 2$ 。 $E$ 为棱 $SB$ 上一点，且平面 $E D C ⊥$ 平面 $SBC$ 。

(1)
证明 $SE = 2 EB$ ；
(2)
求二面角 $A - D E - C$ 的大小。

题序待核对（列表 19）

第13题（解答题）

(1)
已知 $P$ 是矩形 $A BC D$ 所在平面上的一点，证明 $P A^{2} + P C^{2} = P B^{2} + P D^{2}$ 。
(2)
将上述命题推广到 $P$ 为空间上任意一点的情形，写出推广后的命题并证明。
(3)
将矩形 $A BC D$ 进一步推广到长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题。

题序待核对（列表 20）

本题整理中，不计分。

题序待核对（列表 21）

第14题（解答题）

设曲线 $C : ∣ x^{2} - 16 y ∣ = 256 - 16∣ y ∣$ 所围成的封闭区域为 $D$ 。

(1)
求区域 $D$ 的面积；
(2)
设过点 $M (0, - 16)$ 的直线与曲线 $C$ 交于两点 $P, Q$ ，求 $∣ PQ ∣$ 的最大值。