2018 年湖南预赛 · 第 4 题

解答

分子、分母分别分解为 $(n+5)(n-2)$、$(n+8)(n-2)$。$n=2$ 时分母为0，先排除。若原分数既约，则它们的共同整数因子 $|n-2|$ 必须为1。结合 $n$ 为正整数，只有 $n=1$ 或3。 当 $n=1$ 时，原分数为 $(-6)/(-9)$，最大公因数为3，并非既约。当 $n=3$ 时，原分数为 $8/11$，分子分母互素。因此所求分数值为 $\boxed{\frac{8}{11}}$。