2013 年黑龙江预赛

已知全集 $U=\mathbb{R}$，集合

图中阴影部分所表示的集合为（ ）。

1. (A)

   $\{x\mid x\le 0\}$

2. (B)

   $\{x\mid 2\le x\le 4\}$

3. (C)

   $\{x\mid 0<x\le 2\text{ 或 }x\ge 4\}$

4. (D)

   $\{x\mid 0\le x<2\text{ 或 }x>4\}$

$i$ 为虚数单位，则

1. (A)

   $i$

2. (B)

   $-i$

3. (C)

   $0$

4. (D)

   $1$

命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）。

1. (A)

   所有实数的平方都不是正数

2. (B)

   有的实数的平方是正数

3. (C)

   至少有一个实数的平方不是正数

4. (D)

   至少有一个实数的平方是正数

直线 $l$ 过抛物线 $C:x^2=4y$ 的焦点且与 $y$ 轴垂直，则 $l$ 与 $C$ 所围成的图形的面积等于（ ）。

1. (A)

   $\frac{4}{3}$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $\frac{8}{3}$

4. (D)

   $\frac{16\sqrt{2}}{3}$

将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数为（ ）。

1. (A)

   $24$

2. (B)

   $30$

3. (C)

   $36$

4. (D)

   $81$

设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）。

1. (A)

   $4+\frac{5\pi }{2}$

2. (B)

   $4+\frac{3\pi }{2}$

3. (C)

   $4+\frac{\pi }{2}$

4. (D)

   $4+\pi$

定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,2)$ 上是增函数，且 $f(x+2)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，则（ ）。

1. (A)

   $f(-1)<f(3)$

2. (B)

   $f(0)>f(3)$

3. (C)

   $f(-1)=f(3)$

4. (D)

   $f(0)=f(3)$

化简

1. (A)

   $\cos 2\alpha$

2. (B)

   $\sin 2\alpha$

3. (C)

   $\cos \alpha$

4. (D)

   $\sin \alpha$

设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线

的左、右焦点。若双曲线右支上存在一点 $P$，使

其中 $O$ 为坐标原点，且 $|P{F}_1|=\sqrt{3}|P{F}_2|$，则该双曲线的离心率为（ ）。

1. (A)

   $\sqrt{6}+\sqrt{2}$

2. (B)

   $\sqrt{3}+1$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

在直三棱柱 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 中，$\angle BAC=\frac{\pi }{2}$，$AB=AC=A{A}_1=1$。已知 $G$ 与 $E$ 分别为 $A_1{B}_1$ 和 $C{C}_1$ 的中点，$D$ 与 $F$ 分别为线段 $AC$ 和 $AB$ 上的动点（不包括端点）。若 $GD\perp EF$，则线段 $DF$ 的长度的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $\left[\frac{1}{\sqrt{5}},1\right)$

2. (B)

   $\left[\frac{1}{5},2\right)$

3. (C)

   $[1,\sqrt{2})$

4. (D)

   $\left[\frac{1}{\sqrt{5}},\sqrt{2}\right)$

已知正项等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_7=a_6+2a_5$。若存在两项 $a_n,a_m$ 使得 $\sqrt{a_m{a}_n}=4a_1$，则 $\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$ 的最小值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{25}{3}$

2. (B)

   $\frac{25}{6}$

3. (C)

   $\frac{5}{3}$

4. (D)

   $\frac{3}{2}$

已知变量 $x,y$ 满足约束条件

则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是。

设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=x^2$。若对任意的 $x\in [a,a+2]$，不等式 $f(x+a)\ge 2f(x)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

已知 $|\overrightarrow{OA}|=1$，$|\overrightarrow{OB}|=3$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，点 $C$ 在 $\angle AOB$ 内，且 $\angle AOC=30^{\circ }$。设 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$（$m,n\in \mathbb{R}$），则 $\frac{m}{n}=$。

若正方形 $ABCD$ 的一条边在直线 $y=2x-17$ 上，另外两个顶点在抛物线 $y=x^2$ 上，则该正方形面积的最小值为。

已知函数

（1）当 $x\in \left[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}\right]$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值和最大值；

（2）设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对应边分别为 $a,b,c$，且 $c=\sqrt{3}$，$f(C)=0$。若向量 $\vec{m}=(1,\sin A)$ 与向量 $\vec{n}=(2,\sin B)$ 共线，求 $a,b$ 的值。

如图，在正三角形 $ABC$ 中，点 $D,E$ 分别在边 $AC,AB$ 上，且

$BD,CE$ 相交于点 $F$。

（1）求证：$A,E,F,D$ 四点共圆；

（2）若正三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，求 $A,E,F,D$ 所在圆的半径。

一个口袋中有 $2$ 个白球和 $n$ 个红球（$n\ge 2$，且 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含 $n$ 的代数式表示一次摸球中奖的概率 $P$；

（2）若 $n=3$，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为 $f(p)$，当 $n$ 为何值时，$f(p)$ 取最大值。

数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $a_1=1$，

（1）求证：数列 $\{a_n\}$ 是等比数列；

（2）设数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $f(t)$，数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n=f\left(\frac{1}{b_{n-1}}\right)$（$n\ge 2$），求 $b_n$ 的通项式；

（3）记

求证：$T_n\le -\frac{20}{9}$.

已知 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，圆 $F_2:(x-1{)}^2+y^2=1$。一动圆在 $y$ 轴右侧与 $y$ 轴相切，同时与圆 $F_2$ 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线 $C$。曲线 $E$ 是以 $F_1,F_2$ 为焦点的椭圆。

（1）求曲线 $C$ 的方程；

（2）设曲线 $C$ 与曲线 $E$ 相交于第一象限点 $P$，且 $|P{F}_1|=\frac{7}{3}$，求曲线 $E$ 的标准方程；

（3）在（1）、（2）的条件下，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $AB$ 的中点 $M$ 在曲线 $C$ 上，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围。

设

（1）判断函数 $f(x)$ 的单调性；

（2）是否存在实数 $a$，使关于 $x$ 的不等式 $\ln (1+x)<ax$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立？若存在，求出 $a$ 的取值范围；若不存在，说明理由；

（3）求证：