2008 年黑龙江预赛

设集合

已知 $P\cap Q$ 只有一个子集，那么 $k$ 的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $(-\infty ,1)$

2. (B)

   $(-\infty ,1]$

3. (C)

   $(1,+\infty )$

4. (D)

   $(-\infty ,+\infty )$

命题 $p$：若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $|a+b|<1$ 是 $|a|+|b|<1$ 的充分而不必要条件；命题 $q$：函数

的定义域是 $(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$，则（ ）。

1. (A)

   “$p$ 或 $q$”为假命题

2. (B)

   “$p$ 且 $q$”为真命题

3. (C)

   $p$ 为真命题，$q$ 为假命题

4. (D)

   $p$ 为假命题，$q$ 为真命题

已知 $P$ 为三角形 $ABC$ 内部任一点（不包括边界），且满足

则 $△ABC$ 一定为（ ）。

1. (A)

   直角三角形

2. (B)

   等边三角形

3. (C)

   等腰三角形

4. (D)

   等腰直角三角形

已知 $\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\frac{3}{5}$，则 $\sin 2x$ 的值为（ ）。

1. (A)

   $\frac{19}{25}$

2. (B)

   $\frac{16}{25}$

3. (C)

   $\frac{14}{25}$

4. (D)

   $\frac{7}{25}$

给定数列 $\{x_n\}$，$x_1=1$，且

则 $\sum _{n=1}^{2008}{x}_n$ 为（ ）。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $-1$

3. (C)

   $2+\sqrt{3}$

4. (D)

   $-2+\sqrt{3}$

将正方形的每条边 8 等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ）。

1. (A)

   $1372$

2. (B)

   $2024$

3. (C)

   $3136$

4. (D)

   $4495$

已知函数 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的增函数，$A(0,-1)$、$B(3,1)$ 是其图象上的两点，那么 $|f(x+1)|<1$ 的解集是（ ）。

1. (A)

   $(1,4)$

2. (B)

   $(-1,2)$

3. (C)

   $(-\infty ,1)\cup [4,+\infty )$

4. (D)

   $(-\infty ,-1)\cup [2,+\infty )$

已知 $F_1,F_2$ 是双曲线

的两焦点，以线段 $F_1{F}_2$ 为边作正三角形 $M{F}_1{F}_2$。若边 $M{F}_1$ 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）。

1. (A)

   $4+2\sqrt{3}$

2. (B)

   $\sqrt{3}-1$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

4. (D)

   $\sqrt{3}+1$

定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f\left(x+\frac{3}{2}\right)+f(x)=0$，且函数 $y=f\left(x-\frac{3}{4}\right)$ 为奇函数，给出下列命题：

(1)函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $\frac{3}{2}$；  (2)函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{3}{4},0\right)$ 对称；  (3)函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称。其中真命题的个数是（ ）。

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $0$

将三棱锥 $P-ABC$ 沿三条侧棱展开，展成平面形状，如图所示，$P_1,C,P_2$ 三点共线，$P_2,B,P_3$ 三点共线，且 $P_1{P}_2=P_2{P}_3$，则在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA$ 与 $BC$ 所成角的大小是（ ）。

1. (A)

   $30^{\circ }$

2. (B)

   $45^{\circ }$

3. (C)

   $60^{\circ }$

4. (D)

   $90^{\circ }$

已知 $x_1$ 是方程 $x+\lg x=3$ 的根，$x_2$ 是方程 $x+10^x=3$ 的根，那么 $x_1+x_2$ 的值为（ ）。

1. (A)

   $3$

2. (B)

   $6$

3. (C)

   $2$

4. (D)

   $1$

实数 $x,y$ 满足

则 $xy$ 的最小值是（ ）。

1. (A)

   $\frac{1}{5}$

2. (B)

   $\frac{1}{25}$

3. (C)

   $1$

4. (D)

   $5$

已知 $a>0$，不等式

的解集为。

已知 $(x\cos \theta +1{)}^5$ 展开式中 $x^2$ 的系数与 ${\left(x+\frac{5}{4}\right)}^4$ 展开式中 $x^3$ 的系数相等， 则 $\cos \theta =$。

在边长为 $1$ 的正三角形 $ABC$ 的边 $AB,AC$ 上分别取 $D,E$ 两点，使沿线段 $DE$ 折叠三角形时，顶点 $A$ 正好落在边 $BC$ 上。$AD$ 的长度的最小值为。

如图，多面体是经过正四棱柱底面顶点 $B$ 作截面 $A_{1}B{C}_1{D}_1$ 而截得的。已知 $A{A}_1=C{C}_1$，截面 $A_{1}B{C}_1{D}_1$ 与底面 $ABCD$ 成 $45^{\circ }$ 的二面角，$AB=1$，则这个多面体的体积为。

如图，四边形 $ABCD$ 内接于圆，$P$ 是 $AB$ 的中点，$PE\perp AD$，$PF\perp BC$，$PG\perp CD$，$M$ 是线段 $PG$ 和 $EF$ 的交点，求证：$ME=MF$。

设

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   若

   $$T_{2n}=a_1+2a_2+3a_3+\cdots +2n{a}_{2n},Q_n=\frac{4n^2+n}{4n^2+4n+1},$$

   其中 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，试比较 $9T_{2n}$ 与 $Q_n$ 的大小，并说明理由。

如图所示，已知 $A,B,C$ 是长轴长为 $4$ 的椭圆上的三点，点 $A$ 是长轴的一个端点，$BC$ 过椭圆中心 $O$，且 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，$|BC|=2|AC|$。

1. (1)

   建立适当的坐标系，求椭圆方程；

2. (2)

   如果椭圆上有两点 $P,Q$，使 $\angle PCQ$ 的平分线垂直于 $AO$，证明：存在实数 $\lambda$，使 $\overrightarrow{PQ}=\lambda \overrightarrow{AB}$。

已知函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a>b>c$）的图象上有两点 $A(m_1,f(m_1))$、$B(m_2,f(m_2))$，满足

1. (1)

   求证：$b\ge 0$；

2. (2)

   求证：$f(x)$ 的图象被 $x$ 轴截得线段长的取值范围是 $[2,3)$；

3. (3)

   问能否得出 $f(m_1+3)$、$f(m_2+3)$ 中至少有一个数为正数？证明你的结论。