2018 年黑龙江预赛

复数 $z=(1+i{)}^2(2+i)$ 的虚部为（ ）。

1. (A)

   $-2i$

2. (B)

   $-2$

3. (C)

   $4i$

4. (D)

   $4$

已知集合

若 $A\cap B=\varnothing$，则 $a$ 的值是（ ）。

1. (A)

   $3$ 或 $-1$

2. (B)

   $0$

3. (C)

   $-1$

4. (D)

   $0$ 或 $-1$

$(a+2b-3c{)}^4$ 的展开式中 $ab{c}^2$ 的系数为（ ）。

1. (A)

   $208$

2. (B)

   $216$

3. (C)

   $217$

4. (D)

   $218$

某公司在 $2013$--$2017$ 年的收入与支出情况如下表所示：

根据表中数据可得回归直线方程为 $\hat{y}=0.8x+\hat{a}$。依此估计如果 $2018$ 年该公司的收入为 $7$ 亿元时，支出为（ ）。

1. (A)

   $4.5$ 亿元

2. (B)

   $4.4$ 亿元

3. (C)

   $4.3$ 亿元

4. (D)

   $4.2$ 亿元

在如图所示的正方形中随机投掷 $10000$ 个点，则落入阴影部分（曲线 $C$ 的方程为 $x^2-y=0$）的点的个数估计值为（ ）。

1. (A)

   $5000$

2. (B)

   $6667$

3. (C)

   $7500$

4. (D)

   $7854$

函数 $y={\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin x\cos x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的值域是（ ）。

1. (A)

   $\left[-\frac{1}{2},1\right]$

2. (B)

   $\left[-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right]$

3. (C)

   $\left[0,\frac{3}{2}\right]$

4. (D)

   $\left[0,\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right]$

小方、小明、小马、小红四人参加完某项比赛。当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”。已知他们四人中只有一人说了真话，且只有一人得第一。根据以上信息可以判断出得第一名的人是（ ）。

1. (A)

   小明

2. (B)

   小马

3. (C)

   小红

4. (D)

   小方

一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）。

1. (A)

   $\frac{9\pi }{4}$

2. (B)

   $9\pi$

3. (C)

   $4\pi$

4. (D)

   $\pi$

我国南宋时期的数学家秦九韶（约 $1202$--$1261$），在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法。如图所示的框图，给出了用秦九韶算法求多项式的一个实例。若输入的 $n=5,v=1,x=2$，则程序框图计算的是（ ）。

1. (A)

   $2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$

2. (B)

   $2^5+2^4+2^3+2^2+2+5$

3. (C)

   $2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$

4. (D)

   $2^4+2^3+2^2+2+1$

设点 $O$ 在 $△ABC$ 内部，且有 $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\vec{0}$，则 $△ABC$ 的面积与 $△AOC$ 的面积之比为（ ）。

1. (A)

   $2$

2. (B)

   $3$

3. (C)

   $\frac{3}{2}$

4. (D)

   $\frac{5}{3}$

已知抛物线 $C:y^2=2px$（$p>0$）和动直线 $l:y=kx+b$（$k,b$ 为参数，且 $k\ne 0,b\ne 0$）相交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。平面直角坐标系的原点为 $O$，记直线 $OA,OB$ 的斜率分别为 $k_{OA},k_{OB}$。若 $k_{OA}{k}_{OB}=\sqrt{3}$ 恒成立，则当 $k$ 变化时直线 $l$ 恒经过的定点为（ ）。

1. (A)

   $(-\sqrt{3}p,0)$

2. (B)

   $(-2\sqrt{3}p,0)$

3. (C)

   $\left(-\frac{\sqrt{3}p}{3},0\right)$

4. (D)

   $\left(-\frac{2\sqrt{3}p}{3},0\right)$

已知函数

其中 $\ln x$ 是以 $e$ 为底的自然对数（$e=2.71828\dots$）。若存在实数 $m,n$（$m<n$），满足 $f(m)=f(n)$，则 $n-m$ 的取值范围为（ ）。

1. (A)

   $(0,e^2+3)$

2. (B)

   $(4,e^2-1]$

3. (C)

   $[5-2\ln 2,e^2-1]$

4. (D)

   $[5-2\ln 2,4)$

已知实数 $x,y$ 满足约束条件

则目标函数 $z=3x+y$ 的取值范围为。

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。过 $F_2$ 的直线交双曲线右支于 $P,Q$ 两点，且 $PQ\perp P{F}_1$。若 $|PQ|=\frac{5}{12}|P{F}_1|$，则双曲线的离心率为。

九个连续正整数自小到大排成一个数列 $a_1,a_2,\dots ,a_9$。若 $a_1+a_3+a_5+a_7+a_9$ 是一个平方数，$a_2+a_4+a_6+a_8$ 是一个立方数，则 $a_1+a_2+\cdots +a_9$ 的最小值是。

$△ABC$ 中，$A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且

1. (1)

   求 $A,C$；

2. (2)

   若 $S_{△ABC}=3+\sqrt{3}$，求 $a,c$。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   证明：$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots +\frac{a_n}{a_{n+1}}<\frac{n}{2}$。

如图，在 $△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$\angle ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $E$，过点 $E$ 作 $BE$ 的垂线交 $AB$ 于点 $F$，$\odot O$ 是 $△BEF$ 的外接圆，且 $\odot O$ 交 $BC$ 于点 $D$。

1. (1)

   求证：$AC$ 是 $\odot O$ 的切线；

2. (2)

   过点 $E$ 作 $EH\perp AB$，垂足为 $H$，求证：$CD=HF$；

3. (3)

   在（2）的条件下，若 $CD=1,EH=3$，求 $BF$ 及 $AF$ 的长。

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，并且过点 $P(2,-1)$。

1. (1)

   求椭圆 $C$ 的方程；

2. (2)

   设点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，且 $PQ$ 与 $x$ 轴平行。过 $P$ 点作两条直线分别交椭圆 $C$ 于点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$。若直线 $PQ$ 平分 $\angle APB$，求证：直线 $AB$ 的斜率是定值，并求出这个定值。

已知函数 $f(x)=\frac{mx-n}{x}-\ln x$，其中 $m,n\in \mathbb{R}$。

1. (1)

   若函数 $f(x)$ 在 $(2,f(2))$ 处的切线与直线 $x-y=0$ 平行，求实数 $n$ 的值；

2. (2)

   试讨论函数 $f(x)$ 在区间 $[1,+\infty )$ 上的最大值；

3. (3)

   若 $n=1$ 时，函数 $f(x)$ 恰有两个零点 $x_1,x_2$（$0<x_1<x_2$），求证：$x_1+x_2>2$。