培玉 · 一试

2012 年黑龙江预赛

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按原题序浏览；已整理 20/22 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

$(\frac{1 + i}{1 - i})^{2011}$ 等于（）。

(A)
$i$
(B)
$- i$
(C)
$2^{2011}$
(D)
$- 2^{2011}$

第 2 题

设集合 $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $B = {4, 5, 6, 7}$ ，则满足 $S \subseteq A$ 且 $S \cap B \neq = \emptyset$ 的集合 $S$ 的个数为（）。

(A)
$57$
(B)
$56$
(C)
$49$
(D)
$8$

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

函数

y = \frac{x a ^{x}}{∣ x ∣}, 0 < a < 1

的图象的大致形状是（）。

第 5 题

函数 $y = e^{x}$ 的图象与直线 $x = 0$ 、直线 $y = e$ 所围成的区域面积是（）。

(A)
$1$
(B)
$e - 1$
(C)
$e$
(D)
$2 e - 1$

第 6 题

将 $10$ 个相同的小球装入 $3$ 个编号为 $1, 2, 3$ 的盒子（每次要把 $10$ 个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（）。

(A)
$9$
(B)
$12$
(C)
$15$
(D)
$18$

第 7 题

函数

y = cos^{3} x + sin^{2} x - cos x

的最大值等于（）。

(A)
$\frac{32}{27}$
(B)
$\frac{16}{27}$
(C)
$\frac{8}{27}$
(D)
$\frac{4}{27}$

第 8 题

下图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（）。

(A)
$\frac{1}{2}$
(B)
$\frac{2}{3}$
(C)
$\frac{3}{4}$
(D)
$\frac{4}{5}$

第 9 题

本题整理中，不计分。

第 10 题

正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的过对角线 $B D_{1}$ 的截面面积为 $S$ 。 $S_{m a x}$ 和 $S_{m i n}$ 分别为 $S$ 的最大值和最小值，则

\frac{S _{m a x}}{S _{m i n}} = .

(A)
$\frac{3}{2}$
(B)
$\frac{6}{2}$
(C)
$\frac{2 3}{3}$
(D)
$\frac{2 6}{3}$

第 11 题

已知 $A, B$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的不同两点， $F$ 为抛物线 $C$ 的焦点。若

F A = - 4 FB,

则直线 $A B$ 的斜率为（）。

(A)
$\pm \frac{2}{3}$
(B)
$\pm \frac{3}{2}$
(C)
$\pm \frac{3}{4}$
(D)
$\pm \frac{4}{3}$

第 12 题

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{2}$ ，并且

a_{n} (a_{n - 1} + a_{n + 1}) = 2 a_{n + 1} a_{n - 1} (n \geq 2),

则数列 ${a_{n}}$ 的第 $2012$ 项为（）。

(A)
$\frac{1}{2010}$
(B)
$\frac{1}{2011}$
(C)
$\frac{1}{2012}$
(D)
$\frac{1}{2013}$

第 13 题

函数 $f (x) = 2 sin ω x$ （ $ω > 0$ ）在

[0, \frac{π}{4}]

上单调递增，且在这个区间上的最大值是 $3$ ，那么 $ω =$ 。

第 14 题

如果实数 $x, y$ 满足 $3 x + 2 y - 1 \geq 0$ ，那么

u = x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y

的最小值是。

第 15 题

如图，点 $O$ 为正方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的中心，点 $E$ 为面 $B^{'} BC C^{'}$ 的中心，点 $F$ 为 $B^{'} C^{'}$ 的中点，则空间四边形 $D^{'} OEF$ 在该正方体的各个面上的投影可能是（填出所有可能的序号）。

第 16 题

设 $P$ 是椭圆

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

上异于长轴端点的任意一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是其左、右焦点， $O$ 为中心，则

∣ P F_{1} ∣ \cdot ∣ P F_{2} ∣ + ∣ OP ∣^{2} = .

第 17 题

（12分）在 $△ A BC$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 。向量

m = (2 sin B, - 3), n = (cos 2 B, 2 cos^{2} \frac{B}{2} - 1),

且 $m ∥ n$ 。

(1)
求锐角 $B$ 的大小；
(2)
如果 $b = 2$ ，求 $S_{△ A BC}$ 的最大值。

第 18 题

（12分）已知四边形 $PQRS$ 是圆内接四边形， $∠ PSR = 9 0^{\circ}$ 。过点 $Q$ 作 $PR$ 、 $PS$ 的垂线，垂足分别为点 $H$ 、 $K$ 。如图，设 $HK$ 与 $QS$ 相交于 $T$ 。

(1)
求证： $Q, H, K, P$ 四点共圆；
(2)
求证： $QT = TS$ 。

第 19 题

（12分）某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定。他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张；投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为 $\frac{1}{3}$ ，投票相互没有影响。规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则放弃投资。

(1)
求公司决定投资的概率；
(2)
求公司放弃投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率。

第 20 题

（12分）已知函数

f (x) = \frac{2 x + 3}{3 x},

数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = f (\frac{1}{a _{n}})$ ， $n \in N^{*}$ 。

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
令
$T_{n} = a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} - a_{4} a_{5} + \dots - a_{2 n} a_{2 n + 1},$
求 $T_{n}$ 。

第 21 题

（12分）已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

经过点 $(0, 1)$ ，离心率为 $\frac{3}{2}$ 。

(1)
求椭圆 $C$ 的方程；
(2)
设直线 $l : x = m y + 1$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A^{'}$ （ $A^{'}$ 与 $B$ 不重合），则直线 $A^{'} B$ 与 $x$ 轴是否交于一定点？若是，请写出定点坐标并证明；若不是，请说明理由。

第 22 题

（12分）设

f (x) = \frac{a}{x} + x ln x, g (x) = x^{3} - x^{2} - 3.

(1)
当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；
(2)
如果存在 $x_{1}, x_{2} \in [0, 2]$ 使得 $g (x_{1}) - g (x_{2}) \geq M$ 成立，求满足上述条件的最大整数 $M$ ；
(3)
如果对任意的 $s, t \in [\frac{1}{2}, 2]$ 都有 $f (s) \geq g (t)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围。