2025 年中科大少年班入围考

直线$y=kx+1$与圆$x^2-2x+y^2-3=0$交于$A,B$两点。若$AB=4$，则$k=\underline{}$。

半径为13的球面上有三点$A,B,C$，满足$AB=6$，$BC=8$，$AC=10$。球心到平面$ABC$的距离为$\underline{}$。

已知$f(x)=a{x}^2-\ln x$。若$f(x)$在$(1,2)$上不是单调函数，则实数$a$的范围为$\underline{}$。

在复平面上，复数$z,z^2,z^3$分别对应点$A,B,C$。若$AB\perp BC$，则所有满足条件的$z$为$\underline{}$。

$\lfloor {\sum }_{k=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{k}}\rfloor =\underline{}$。

若方程${\log }_{1/a}(\sqrt{x^2+ax+5}+1)\cdot {\log }_5(x^2+ax+6)+{\log }_{a}3=0$有实数解，则$a$的范围为$\underline{}$。

函数$\sqrt{x^2+6x+13}-\sqrt{x^2+4x+13}$的值域为$\underline{}$。

数列$\{a_n\}$满足：当$a_n$为奇数时，$a_{n+1}=3a_n+1$；当$a_n$为偶数时，$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$。若$a_1+a_2+a_3=1981$，则$a_1=\underline{}$。

点$P(x(t),y(t))$满足$x(t)=4\cos \left(t-\frac{\pi }{6}\right)$，$y(t)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$，其中$t\in \left[0,\frac{\pi }{3}\right]$。点$P$到原点距离的最大值与最小值之和为$\underline{}$。

设$A=\{1,2,3,4,5\}$。满足$f(f(x))=1(\forall x\in A)$的映射$f:A\to A$的个数为$\underline{}$。

设$m,n$为正整数且满足$m^2-n^2=2025$，满足条件的有序正整数对$(m,n)$的个数记为$M$；又设满足$x^2+y^2=2025$的有序正整数对$(x,y)$的个数记为$N$。则$M-N=\underline{}$。

设$f(x)=(x^2-4)(x^2-1)$，并记$g(t)={\max }_{x\in [t,t+1]}f(x)$（$-2\le t\le 2$）。则$g(t)$的最大值与最小值之差为$\underline{}$。

掷一枚均匀的六面骰子，直到第一次掷出奇数点为止。在此之前$2,4,6$三个偶数点都至少出现过一次的概率为$\underline{}$。

在三角形$ABC$中，$AB=3$，$AC=5$。其外心为$O$，并满足 $\overrightarrow{AO}=\beta \overrightarrow{AB}+\left(\frac{1}{2}-\frac{\beta }{5}\right)\overrightarrow{AC}$，其中$\beta \ne 0$。则三角形$ABC$的面积为$\underline{}$。

命题“对于任意的自然数$n$，存在$x_n\in \mathbb{R}$，使得$|f(x_n)|>n$”的否定为$\underline{}$。

四棱锥$P$-$ABCD$的体积为1，且$AD\Vert BC$，$AD=2BC$。设$E$为$PD$的中点，平面$EAB$与$PC$交于$F$。则四面体$F$-$BCA$的体积为$\underline{}$。

设正实数$a,b,c$满足

$n$为正整数。求证：

盒子里有$a$个白球、$b$个黑球。每次拿出一个球后，放回$c+1$个与该球同色的球。问：

(1) 第$n$次拿到白球的概率；

(2) 若$k<n$，且第$k$次拿到了白球，求第$n$次拿到白球的概率。