2024 年中科大少年班入围考

设$a,b\in \mathbb{R}$。判断下列命题中哪些正确：

1. ①

   $a\ne 0$是$|a|>0$的充要条件；

2. ②

   若$a,b$为无理数，则$ab$为无理数；

3. ③

   对任意$a\in \mathbb{R}$，存在$b\in \mathbb{Z}$，使$0\le a+b<1$；

4. ④

   存在$a\in \mathbb{Q}$，使$\sqrt{a^2+1}\in \mathbb{Q}$。

正确命题的序号为。

设$S_1=\{a\mid a^{1/3}<2\}$，$S_2=\{a\mid (\frac{1}{3}{)}^a<\frac{1}{2}\}$， $S_3=\{a\mid {\log }_a\frac{2}{3}<1\}$。则$(S_1\cap S_2)\cup S_3=\underline{}$。

曲线$x^2+y^2=2|x|-2|y|$所围成图形的面积为。

函数$f(x)=\left|\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{3}+\sin \frac{x}{4}\right|$的最小正周期为。

在三角形$ABC$中，$\angle A=30^{\circ }$，$|AB|=2$，$|BC|=\sqrt{2}$。则$|AC|=\underline{}$。

设$A$为复平面内一点，$|\alpha |=2,|\beta |=3$，且$\alpha ,\beta$的夹角为$60^{\circ }$。若点$P$满足$\overrightarrow{AP}=x\alpha +y\beta$且$0\le x\le y\le 1$，则点$P$所成区域的面积为。

点$P$在复平面内的坐标为$(a,b)$。将向量$\overrightarrow{OP}$顺时针旋转$90^{\circ }$得到$\overrightarrow{OQ}$。旋转后对应的复数为。

若曲线$x^2+y^2-axy+x+y=1$为双曲线，则参数$a$的范围是。

设$A(1,0,1)$，$B(0,1,-1)$，$C(1,1,0)$，$D(1,1,1)$。点$D$到平面$ABC$的距离为。

设$z=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$。则 $|1-z|\cdot |1-z^2|\cdot |1-z^3|\cdots |1-z^{n-1}|=\underline{}$。

一只蚂蚁从边长为1的正方体的一个顶点出发，沿棱爬行，要求经过所有棱并回到出发点。 最短路径长度为。

使得对任意$x>0$都有$e^x>cx$的实数$c$的取值范围是。

设$x_1,x_2,\dots ,x_7$分别为$22,23,30,35,40,45,50$。当${\sum }_{i=1}^7|x_i-t|$取得最小值时，$t=\underline{}$。

${\left(x+\frac{1}{x}+1\right)}^6$的常数项系数为。

将8本不同的书分给5个人，其中3个人各拿1本，1个人拿2本，1个人拿3本。共有种分法。

设事件$A,B$相互独立，且$P(A)=P(B)$。已知$P(A\cup B)=0.64$，

则$P(A)=\underline{}$。

甲、乙两人比赛，每局甲胜概率为$p$，乙胜概率为$1-p$，且各局独立。若一人比对方先多胜两局就判胜，则甲最终获胜的概率为。

给正六面体的8个顶点和6个面心分别编号$1\sim 14$，且编号互不重复。问能否做到每个面上“该面四个顶点与面心”的编号和都相等？并证明。