2009 年河北预赛

将数列 $\{2n-1\}(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$ 按原顺序分组，第 $n$ 组有 $2^n$ 项。问 $2009$ 在第（ ）组。

1. (A)

   $7$

2. (B)

   $8$

3. (C)

   $9$

4. (D)

   $10$

如果函数

在区间 $[0,+\infty )$ 上是增函数，那么实数 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $(0,\frac{2}{3}]$

2. (B)

   $[\frac{\sqrt{3}}{3},1)$

3. (C)

   $(0,\sqrt{3}]$

4. (D)

   $[\frac{3}{2},+\infty )$

设函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=ax+\frac{b}{x}$。它们的图象在 $x$ 轴上的公共点处有公切线，则当 $x>1$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的大小关系是（ ）。

1. (A)

   $f(x)>g(x)$

2. (B)

   $f(x)<g(x)$

3. (C)

   $f(x)=g(x)$

4. (D)

   不确定

设 $A,B$ 是球的一条直径的两个端点，$\pi$ 是过点 $A$ 且垂直于 $AB$ 的一个平面。$C,D$ 是球面上不同于 $A,B$ 的两个点，延长 $BC,BD$，分别交平面 $\pi$ 于 $E,F$。若 $A,E,F$ 三点构成等腰三角形，则 $AB$ 与 $CD$ 的位置关系是（ ）。

1. (A)

   $AB\perp CD$

2. (B)

   $AB\Vert CD$

3. (C)

   $AB\perp CD$ 且异面

4. (D)

   不能确定

已知 $x,y,z\in (0,1)$ 且 $x+y+z=2$，则 $xy+yz+zx$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $(0,\frac{4}{3}]$

2. (B)

   $(1,\frac{4}{3}]$

3. (C)

   $(1,\frac{4}{3})$

4. (D)

   $(\frac{4}{3},2)$

方程

所表示的曲线为（ ）。

1. (A)

   焦点在 $x$ 轴上的双曲线

2. (B)

   双曲线，其焦点所在的轴与 $n$ 有关

3. (C)

   焦点在 $y$ 轴上的椭圆

4. (D)

   椭圆，其焦点所在的轴与 $n$ 有关

示意取 $n=1$；焦轴的判定须对全部正整数 $n$ 证明。

过定点 $F(2,0)$ 作直线 $l$ 交 $y$ 轴于 $Q$ 点，过 $Q$ 点作 $QT\perp FQ$ 交 $x$ 轴于 $T$ 点，延长 $TQ$ 至 $P$ 点，使 $|TQ|=|QP|$，则 $P$ 点的轨迹方程为。

已知正四面体 $S$-$ABC$ 的棱长为 $a$，其内部有四个半径相同、两两相切的小球，且每个小球都与相邻的三个面相切，则小球的半径为。

设 $\{a_n\}$ 是等比数列，公比 $q\in (1,2)$。当 $1\le n\le 6$ 时，$a_n$ 为正整数，那么 $a_6$ 的最小值为。

甲、乙、丙、丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余三个人之一。设 $p_n$ 表示经过 $n$ 次传递后球回到甲手中的概率，则 $p_6=\underline{}$。

$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且 $f(1+x)=f(1-x)$，$f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上单调递增，则 $f(8.5)$ 与 $f(-4.8)$ 的大小关系是。

设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，$a_k=\left[\frac{2009}{k}\right]$，$k=1,2,\dots ,100$，则这 $100$ 个整数中不同的整数的个数为。

如果存在 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，满足

其中 $x_i=\pm 7$，$i=1,2,\dots ,n$，试确定 $n$ 的最小值。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足

求证：当 $n\ge 3$ 时，

边长为 $3$ 的菱形 $A_{1}BCD$ 中，$\angle A_1=60^{\circ }$，$E$ 为线段 $A_{1}B$ 上一动点（除去点 $A_1,B$ 外），以 $DE$ 为折痕，将 $△A_{1}DE$ 折起，使二面角 $A-DE-C$ 成 $60^{\circ }$（如图）。

1. (1)

   求证：$A$ 点在面 $DEBC$ 上的射影 $O$ 不可能为 $△DBC$ 的垂心；

2. (2)

   当 $A_{1}E=2EB$ 时，求直线 $BC$ 与面 $ADE$ 所成的角。

在一有直角坐标系的纸片中，画出以点 $A(-1,0)$ 为圆心、半径为 $2\sqrt{2}$ 的圆，定点 $B(1,0)$。折叠纸片使圆周上某一个点 $P$ 恰好与点 $B$ 重合，连接 $AP$ 与折痕交于点 $C$。反复这样折叠得到动点 $C$ 的集合。

1. (1)

   求动点 $C$ 的集合对应的曲线 $E$ 的方程；

2. (2)

   若 $S,T,M,N$ 四点都在曲线 $E$ 上，且 $\overrightarrow{SB}$ 与 $\overrightarrow{BT}$ 共线，$\overrightarrow{MB}$ 与 $\overrightarrow{BN}$ 共线，且 $\overrightarrow{SB}\cdot \overrightarrow{MB}=0$，求四边形 $SMTN$ 面积的最小值和最大值。

已知函数 $f(x)=x^2-2$，设曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(x_n,f(x_n))$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 处的切线与 $x$ 轴交于点 $B(x_{n+1},0)$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且 $x_1=3$。

1. (1)

   求证：$x_n>\sqrt{2}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$；

2. (2)

   设 $b_n=x_n-\sqrt{2}$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：$T_n<2(3-\sqrt{2})$。