2009 年河北预赛 · 第 12 题

解答

因 $44^2<2009<45^2$，对 $1\le k\le 43$ 有 $2009/[k(k+1)]>1$，故 $a_1,\dots ,a_{44}$ 严格递减，且 $a_{44}=45$。对 $45\le k\le 99$ 有 $2009/[k(k+1)]<1$，所以从 $a_{45}=44$ 到 $a_{100}=20$ 每次下降至多1，恰覆盖20至44这25个整数。两段不重合，共 $\boxed{44+25=69}$ 个。