培玉 · 一试

2010 年湖南预赛

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 18/18 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

若 $f (x)$ 是 $R$ 上周期为 $5$ 的奇函数，且满足 $f (1) = 8$ ，则

f (2010) - f (2009) = .

(A)
$6$
(B)
$7$
(C)
$8$
(D)
$9$

第 2 题

关于非零向量 $a$ 和 $b$ 有两个命题。命题甲： $a ⊥ b$ ；命题乙：函数

f (x) = (x a + b) \cdot (x b - a)

为一次函数。则有（）。

(A)
甲是乙的充分不必要条件
(B)
甲是乙的必要不充分条件
(C)
甲是乙的充分必要条件
(D)
甲是乙的既不充分也不必要条件

第 3 题

如图，若 $Ω$ 是长方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $EFG H$ 截去几何体 $EFG H B_{1} C_{1}$ 后得到的几何体，其中 $E$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 上异于 $B_{1}$ 的点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 上异于 $B_{1}$ 的点，且 $E H ∥ A_{1} D_{1}$ ，则下列结论中不正确的是（）。

(A)
$E H ∥ FG$
(B)
四边形 $EFG H$ 是矩形
(C)
$Ω$ 是棱柱
(D)
$Ω$ 是棱台

虚线示意截去部分的参考框架及背面隐藏棱。

第 4 题

如图，在半径为 $r = 1$ 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 $S_{n}$ 为前 $n$ 个圆的面积之和。取正数

ξ = 3 π (\frac{3}{4})^{99},

若 $∣ S_{n} - 4 π ∣ < ξ$ ，则 $n$ 的取值为（）。

(A)
大于 $100$ 的所有正整数
(B)
大于 $100$ 的有限个正整数
(C)
不大于 $100$ 的所有正整数
(D)
不大于 $100$ 的有限个正整数

第 5 题

已知直线 $x = 2$ 与双曲线 $Γ : \frac{x ^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的渐近线交于 $E_{1}, E_{2}$ 两点，记 $O E_{1} = e_{1}$ ， $O E_{2} = e_{2}$ 。任取双曲线 $Γ$ 上的点 $P$ ，若

OP = a e_{1} + b e_{2} (a, b \in R),

则（）。

(A)
$0 < a^{2} + b^{2} < 1$
(B)
$0 < a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$
(C)
$a^{2} + b^{2} \geq 1$
(D)
$a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$

第 6 题

一厂家有一批长 $40 cm$ 、宽 $30 cm$ 的矩形红布。现该厂家要将每块矩形红布剪一次后拼成一面三角形旗子，则红布可以拼成三角形旗子的种数是（）。

(A)
$1$
(B)
$2$
(C)
$3$
(D)
$4$

第 7 题

定义在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的函数 $y = 6 cos x$ 的图象与 $y = 5 tan x$ 的图象的交点为 $P$ 。过点 $P$ 作 $P P_{1} ⊥ x$ 轴于点 $P_{1}$ ，直线 $P P_{1}$ 与 $y = sin x$ 的图象交于点 $P_{2}$ ，则线段 $P_{1} P_{2}$ 的长为。

第 8 题

在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2010} = 4$ 。函数

f (x) = x (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{2010}),

则函数 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为。

第 9 题

如果执行程序框图（如图所示），输入正整数 $n, m$ ，满足 $n \geq m$ ，那么输出的 $p$ 等于。

第 10 题

设 $y = f (x)$ 为区间 $[0, 1]$ 上的连续函数，且恒有 $0 \leq f (x) \leq 1$ ，可以用随机模拟方法近似计算积分

\int_{0}^{1} f (x) d x .

先产生两组（每组 $N$ 个）区间 $[0, 1]$ 上的均匀随机数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{N}$ 和 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{N}$ ，由此得到 $N$ 个点 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1, 2, \dots, N$ ）。再数出其中满足 $y_{i} \leq f (x_{i})$ （ $i = 1, 2, \dots, N$ ）的点数 $N_{1}$ ，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为。

第 11 题

设 $a_{n}$ 是 $(3 - x)^{n}$ （ $n = 2, 3, \dots$ ）的二项展开式中 $x$ 的系数，则

\frac{3 ^{2}}{a _{2}} + \frac{3 ^{3}}{a _{3}} + \dots + \frac{3 ^{18}}{a _{18}}

的值是。

第 12 题

若三个非零实数 $x (y - z)$ ， $y (z - x)$ ， $z (y - x)$ 成等比数列，则其公比 $q =$ 。

第 13 题

设函数

f (x) = 4 sin x \cdot sin^{2} (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) + cos 2 x,

若 $∣ f (x) - m ∣ < 2$ 成立的充分条件是

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{2 π}{3},

则实数 $m$ 的取值范围是。

第 14 题

空间有 $5$ 个点，任意 $4$ 点不共面。若连了若干条线段而图中不存在四面体，则图中三角形个数的最大值为。

第 15 题

已知，当 $x \in [1, e]$ 时，不等式

a ln x \leq - \frac{1}{2} x^{2} + (a + 1) x

恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围。

第 16 题

如图，两个较小的圆 $⊙ O_{1}, ⊙ O_{2}$ 在大圆 $⊙ O$ 内滚动时始终保持和 $⊙ O$ 内切，切点分别为 $P, Q$ 。 $MN$ 是 $⊙ O_{1}$ 和 $⊙ O_{2}$ 的外公切线。已知 $⊙ O_{1}, ⊙ O_{2}, ⊙ O$ 的半径分别为 $r_{1}, r_{2}, R$ ，求证：

\frac{M N ^{2}}{P Q ^{2}}

为定值。

第 17 题

设椭圆

C_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

和椭圆

C_{2} : \frac{x ^{2}}{m ^{2}} + \frac{y ^{2}}{n ^{2}} = 1,

过原点 $O$ 引射线分别交 $C_{1}, C_{2}$ 于 $A, B$ 两点， $P$ 为线段 $A B$ 上一点。

(1)
求证： $∣ O A ∣, ∣ OP ∣, ∣ OB ∣$ 成等比数列的充要条件是 $P$ 点的轨迹方程为
$C_{3} : (\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}) (\frac{x ^{2}}{m ^{2}} + \frac{y ^{2}}{n ^{2}}) = 1.$
(2)
试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线，得出相应的正确结论（不要求证明）。

第 18 题

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 是整数 $1, 2, \dots, n$ 的一个排列，且满足

a_{1} = 1, ∣ a_{i} - a_{i - 1} ∣ \leq 2 (i = 2, 3, \dots, n) .

上述排列的个数记为 $f (n)$ ，试求 $f (2010)$ 被 $3$ 除的余数。