培玉 · 一试

2022 年甘肃预赛

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第 1 题

若 $3^{a} = 4^{b} = 6^{c}$ ，则

\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} - \frac{1}{c} = .

第 2 题

设函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足

f (x) - 2 x f (\frac{1}{x}) + x^{2} = 0,

则 $f (x)$ 的最小值为。

第 3 题

已知集合

A = {x x^{2} + 2 x - 8 > 0}, B = {x x^{2} - 2 a x + 4 \leq 0} .

若 $a > 0$ ，且 $A \cap B$ 中恰有一个整数，则 $a$ 的取值范围是。

第 4 题

圆 $C : x^{2} + (y - 2)^{2} = 16$ 关于直线 $a x + b y - 12 = 0$ 对称。动点 $S$ 在直线 $y + b = 0$ 上，过点 $S$ 引圆 $C$ 的两条切线 $S A, SB$ ，切点分别为 $A, B$ 。则直线 $A B$ 必过定点，该定点的坐标为。

第 5 题

半径为 $R$ 的球内部装有 $4$ 个半径为 $r$ 的小球，则小球的半径 $r$ 可能的最大值为（用含 $R$ 的式子表示）。

第 6 题

袋子 $A$ 中装有 $2$ 张 $10$ 元纸币和 $3$ 张 $1$ 元纸币，袋子 $B$ 中装有 $4$ 张 $5$ 元纸币和 $3$ 张 $1$ 元纸币。现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则 $A$ 中剩下的纸币的面值之和大于 $B$ 中剩下的纸币面值之和的概率为。

第 7 题

设

f (x) = m x^{2} + (2 n + 1) x - m - 2 (m, n \in R, m \neq = 0)

在 $[3, 4]$ 上至少有一个零点，则 $m^{2} + n^{2}$ 的最小值是。

第 8 题

已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d$ 不为 $0$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q$ 是小于 $1$ 的正有理数。若 $a_{1} = d$ ， $b_{1} = d^{2}$ ，且

\frac{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + a _{3}^{2}}{b _{1} + b _{2} + b _{3}}

是正整数，则 $q =$ 。

第 9 题

设 $z_{1}, z_{2}$ 为一对共轭复数，如果满足

∣ z_{1} - z_{2} ∣ = 6, \frac{z _{1}}{z _{2}^{2}} 为实数,

则 $∣ z_{1} ∣ =$ 。

第 10 题

函数

f (x) = e^{x} - a ln (a x - a) + a (a > 0),

若 $f (x) > 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是。

第 11 题

$△ A BC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A BC$ 的面积为

\frac{a ^{2}}{3 sin A} .

（1）求 $sin B sin C$ ；

（2）若 $6 cos B cos C = 1$ ， $a = 3$ ，求 $△ A BC$ 的周长。

第 12 题

四棱锥 $P - A BC D$ 中，底面 $A BC D$ 是边长为 $1$ 的正方形，且 $P A ⊥$ 平面 $A BC D$ ， $D E ⊥ PC$ 交 $PC$ 于点 $E$ 。

（1）求证：直线 $PC ⊥$ 平面 $B D E$ ；

（2）当三棱锥 $E - BC D$ 的体积取到最大值时，求四棱锥 $P - A BC D$ 的表面积。

第 13 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足：对任意正整数 $n$ ，有

a_{n} (2 S_{n} - a_{n}) = 1,

其中 $S_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和。求证：

（1）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} < 2 n$ ；

（2）对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n} a_{n + 1} < 1$ 。

第 14 题

有人玩掷硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面为等可能性事件。棋盘上标有第 $0$ 站、第 $1$ 站、第 $2$ 站、 $\dots$ 、第 $100$ 站，一枚棋子开始在第 $0$ 站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次；若掷出正面，棋向前跳一站（从 $k$ 到 $k + 1$ ），若掷出反面，棋向前跳两站（从 $k$ 到 $k + 2$ ）。直到棋子跳到第 $99$ 站（胜利大本营）或跳到第 $100$ 站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $p_{n}$ 。

（1）求 $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ 的值；

（2）求证：

p_{n} - p_{n - 1} = - \frac{1}{2} (p_{n - 1} - p_{n - 2}), n \in N, 2 \leq n \leq 99;

（3）求 $p_{99}, p_{100}$ 的值。

第 15 题

$O$ 为坐标原点，点 $F$ 为抛物线 $C_{1} : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，且抛物线 $C_{1}$ 上点 $P$ 处的切线与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$ 相切于点 $Q$ 。

（1）当直线 $PQ$ 的方程为 $x - y - 2 = 0$ 时，求抛物线 $C_{1}$ 的方程；

（2）当正数 $p$ 变化时，记 $S_{1}, S_{2}$ 分别为 $△ FPQ, △ FOQ$ 的面积，求 $S_{1} / S_{2}$ 的最小值。

第 16 题

设函数

f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - x .

（1）若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的值；

（2）当 $a > 1$ 时：

① 求证：函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{2} - x_{1}$ 随着 $a$ 的增大而增大；

② 在 ① 的结论下，求证：

f (x_{2}) < 1 + \frac{sin x _{2} - x _{2}}{2} .