2015 年辽宁预赛

设 $a=\sum _{i=1}^{24}\lfloor \sqrt{i}\rfloor$，其中 $\lfloor x\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，集合 $A=\{x\mid x\in {\mathbb{N}}^{\ast }\text{ 且 }x\mid a\}$，则 $A$ 中元素的个数是（ ）。

1. (A)

   $4$

2. (B)

   $6$

3. (C)

   $8$

4. (D)

   $12$

已知 $△ABC$ 的三边 $a,b,c$ 成等比数列，边 $a,b,c$ 的所对的角依次为 $A,B,C$，且 $\sin A\sin B+\sin B\sin C+\cos 2B=1$，则角 $B$ 为（ ）。

1. (A)

   $\frac{\pi }{4}$

2. (B)

   $\frac{\pi }{3}$

3. (C)

   $\frac{\pi }{2}$

4. (D)

   $\frac{2\pi }{3}$

已知函数 $f(x)=x^2-53x+196+\left|x^2-53x+196\right|$，则 $f(1)+f(2)+\cdots +f(50)$ 为（ ）。

1. (A)

   $660$

2. (B)

   $664$

3. (C)

   $668$

4. (D)

   $672$

已知数列 $\{a_n\}$ 是由正整数组成的递增数列，且 $a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），若 $a_5=52$，则 $a_7$ 为（ ）。

1. (A)

   $102$

2. (B)

   $152$

3. (C)

   $212$

4. (D)

   $272$

在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=A{A}_1=1$，$AD=2$，则异面直线 $A_{1}D$ 与 $B_1{D}_1$ 间的距离为（ ）。

1. (A)

   $1$

2. (B)

   $\frac{1}{2}$

3. (C)

   $\frac{2}{3}$

4. (D)

   $\frac{3}{2}$

如图，$M,N$ 分别为正六边形 $ABCDEF$ 的对角线 $AC,CE$ 的内分点，且 $\frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=\lambda$，若 $B,M,N$ 三点共线，则 $\lambda$ 为（ ）。

1. (A)

   $\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. (B)

   $\frac{1}{3}$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{2}}{2}$

4. (D)

   $\frac{1}{2}$

已知复数 $z=a+i$（$a\in \mathbb{R}$）在复平面内对应的点在第二象限，且 $\left|z\cdot (1+i)\right|>2$，则实数 $a$ 的取值范围是。

已知实数 $a,b$ 满足 $a+\lg a=10$，$b+10^b=10$，则 $\lg (a+b)=$。

已知数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_1=\frac{1}{5}$，且对任意正整数 $m,n$ 都有 $a_{m+n}=a_m\cdot a_n$。若 $S_n<a$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为。

在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $M,N$ 分别在线段 $AB,B{B}_1$ 上（不包括线段的端点），并且 $AM=B_{1}N$，则 $A_{1}M$ 与 $C_{1}N$ 所成角的取值范围是。

一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出此题的概率分别为 $\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}$，其中 $a,b,c$ 都是小于 $10$ 的正整数。现甲、乙、丙同时独立解答此题，若三人中恰有一人解出此题的概率为 $\frac{7}{15}$，则甲、乙、丙三人都未解出此题的概率为。

设 $F_1,F_2$ 为椭圆 $C$ 的两个焦点，若 $AB$ 为椭圆一条过点 $F_2$ 的弦，且在 $△F_{1}AB$ 中，$|F_{1}A|=3$，$|AB|=4$，$|B{F}_1|=5$，则 $\tan \angle F_2{F}_{1}B=$。

（20 分）设实数 $a,b,\lambda$ 满足 $0<a<b$，$0\le \lambda \le 1$。

1. (1)

   证明：$\ln a+1\le \frac{a\ln a-b\ln b}{a-b}\le \ln b+1$；

2. (2)

   证明：

   $$[\lambda a+(1-\lambda )b]\ln [\lambda a+(1-\lambda )b]\le \lambda a\ln a+(1-\lambda )b\ln b.$$

（20 分）如图，直角三角形 $ABC$ 外接圆圆心为 $O$，$\angle C=90^{\circ }$，过 $C$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $D$。作圆 $O_1$ 分别切弧 $\widehat{BC}$、边 $CD$、$DB$ 于 $E,F,G$；同样作圆 $O_2$ 与弧 $\widehat{AC}$、边 $CD$、$DA$ 相切。设圆 $O_1$ 半径为 $r_1$，圆 $O_2$ 半径为 $r_2$，$△ABC$ 内切圆半径为 $r$，证明： $r=\frac{r_1+r_2}{2}$。

（25 分）已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=1$，关于 $x$ 的方程 $x^2-a_{n+1}\cos x+(2a_n+1)=0$ 有唯一解。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   设 $b_n={\left[1+\frac{1}{{\log }_2(a_n+1)}\right]}^n$，求证：$b_n<3$；

3. (3)

   设 $c_n=n^2{a}_n$，求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

（25 分）设双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的左右两个焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知 $△P{F}_1{F}_2$ 的重心为 $G$，内心为 $I$。

1. (1)

   问是否存在点 $P$，使得 $IG\Vert F_1{F}_2$？若能，求出点 $P$；若不能，请说明理由。

2. (2)

   设 $A$ 为双曲线 $C$ 的左顶点，直线 $l$ 过右焦点 $F_2$ 与双曲线 $C$ 交于 $M,N$ 两点，若 $AM,AN$ 的斜率为 $k_1,k_2$，且 $k_1+k_2=-\frac{1}{2}$，求直线 $l$ 的方程。