培玉 · 一试

2022 年吉林预赛

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第 1 题

已知集合 $A = {x ∣ x > a}$ ， $B = {- 1, 0, 1}$ ，若 $A \cap B = {0, 1}$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A. [- 1, 0) B. (- 1, 0] C. (- 1, 0) D. [- 1, 0]

第 2 题

关于 $x$ 的方程

sin^{2} x + cos x + a = 0

在实数范围内有解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A. [- \frac{5}{4}, 1] B. [- 1, 1] C. [- \frac{5}{4}, \frac{5}{4}] D. [- 1, \frac{5}{4}]

第 3 题

已知函数 $f (x) = cos x sin 2 x$ ，则下列结论中错误的是（）

A. B. C. D. f (x) 的图像有对称中心, f (x) 的图像有对称轴, 方程 f (x) = \frac{7}{9} 有解, 方程 f (x) = a 在 [0, π) 内解的个数是偶数 .

第 4 题

在 $△ A BC$ 中，若

∣ A B ∣ = 2, ∣ A C ∣ = 3, ∣ BC ∣ = 4,

$O$ 为 $△ A BC$ 的内心，且

A O = λ A B + μ BC,

则 $λ + μ =$ （）

A. \frac{9}{10} B. \frac{7}{10} C. \frac{8}{9} D. \frac{7}{9}

第 5 题

设实数 $a, b$ 满足

3^{a} + 1 3^{b} = 1 7^{a}, 5^{a} + 7^{b} = 1 1^{b},

则 $a, b$ 的大小关系是（）

A. a > b B. a = b C. a < b D. 不确定

第 6 题

满足 $a \geq b \geq c$ 且

ab c = 2 (a - 1) (b - 1) (c - 1)

的正整数数组 $(a, b, c)$ 共有（）组。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

第 7 题

已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，若对于任意的正整数 $p, q$ ，总有

a_{p + q} = a_{p} a_{q},

且 $a_{8} = 16$ ，则 $a_{10} =$ 。

第 8 题

已知函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{2} x + 1, 2^{- 4 x} + 1, 0 < x < \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \leq x < 1,

则 $f (x) > \frac{2}{8} + 1$ 的解集为。

第 9 题

在棱长均为 $2$ 的直四棱柱 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ B A D = 6 0^{\circ}$ 。已知 $M, N$ 分别为棱 $C C_{1}, A B$ 的中点，那么四面体 $A_{1} - D_{1} MN$ 的体积为。

第 10 题

设 $x \in R$ ，不等式

2 x^{2} - a x^{2} + 1 + 3 \geq 0

恒成立，则实数 $a$ 的最大值为。

第 11 题

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足

S_{n} + a_{n} = \frac{n - 1}{n ( n + 1 )}, n = 1, 2, \dots,

则通项 $a_{n} =$ 。

第 12 题

将 $16$ 个数： $4$ 个 $1$ ， $4$ 个 $2$ ， $4$ 个 $3$ ， $4$ 个 $4$ 填入一个 $4 \times 4$ 的数表中，要求每行、每列都恰有两个偶数，共有种填法。

第 13 题

已知函数

f (x) = sin 2 x tan x + cos (2 x - \frac{π}{3}) - 1,

求函数 $f (x)$ 的单调递减区间。

第 14 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{m} = 1 (m > 0)

经过点 $A (1, \frac{3}{2})$ 。能否在椭圆 $C$ 上找到两点 $E, F$ ，满足： $△ A EF$ 的三边所在直线的斜率成等差数列，且边 $A E$ 与边 $A F$ 所在直线均与圆

(x - 2)^{2} + (y - \frac{3}{2})^{2} = r^{2} (r > 0)

相切？如果存在，求出相应的 $r$ 的值；如果不存在，说明理由。

第 15 题

已知函数

f (x) = \frac{4 e ^{x - 1}}{x + 1} + x^{2} - 3 a x + a^{2} - 1,

若存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $f (x_{0}) \leq 0$ ，求实数 $a$ 的最小可能值。

第 16 题

$n$ 个学生参加一次数学考试，试卷由 $m$ 道题组成，考虑如下的统计结果：设 $α (0 < α < 1)$ 是一个实数，至少有 $α m$ 道题为难题（一道题是难题是指至少有 $α n$ 个学生未解出此题），且至少有 $α n$ 个学生及格（一个学生及格是指至少解决了 $α m$ 道题）。试就

α = \frac{2}{3}, \frac{7}{10}

确定上述情形是否可能。