培玉 · 一试

2024 年甘肃预赛

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第 1 题

定义集合 $A, B$ 的运算：

A \otimes B = {m ∣ m = y^{2} - x, x \in A, y \in B} .

若

A = {x \frac{1}{81} < 3^{x - 1} \leq 3, x \in Z}, B = {x \frac{x + 2}{x - 3} < 0, x \in Z},

则 $A \otimes B$ 的真子集的个数为。

第 2 题

若复数 $z, z_{1}, z_{2}$ 满足

\overline{z_{1}} (z_{1} - 4) = 5 + 12 i, z_{2} = \frac{1 - i}{i}, ∣ z - z_{1} ∣ = 1,

则 $∣ z - z_{2} ∣$ 的最小值为。

第 3 题

函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且

h (x) = f (x) + e^{- x} - x

为奇函数，则满足 $f (2 a - 1) - f (a) < 0$ 的 $a$ 的取值范围为。

第 4 题

已知 $△ A BC$ 的外接圆半径为 $2$ ，且

2 sin B sin C = 1, cos 2 A + 3 sin^{2} \frac{B + C}{2} - 1 = 0,

则 $△ A BC$ 的面积为。

第 5 题

在小于 $15$ 的正整数中，不重复地取出 $3$ 个数，则它们的和能被 $3$ 整除的概率为。

第 6 题

已知函数

f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π) .

圆 $C$ （点 $C$ 在 $x$ 轴上）与 $f (x)$ 的图象交于 $M, N$ 两点，点 $M$ 在 $y$ 轴上，点 $N$ 的横坐标为 $2 π /3$ 。若圆 $C$ 的半径为 $5 π /12$ ，且 $f (- π /6) = 0$ ，则函数

y = f (x) - f (x - \frac{π}{6})

的最大值为。

第 7 题

某同学计划练习 $n$ 道数列题（ $n \in N^{*}$ ）。该同学对第 $k$ 题（ $1 \leq k \leq n$ ， $k \in N^{*}$ ）的掌握程度与解题耗时分别为 $a_{k}, b_{k}$ 。已知 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 都是等差数列，前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，且

\frac{A _{n}}{B _{n}} = \frac{5 n + 17}{n + 1} .

记该同学练习的错误量为 $c_{n}$ ，若 $c_{n} = a_{n} / b_{n}$ ，则错误量可取到的最小整数为。

第 8 题

已知点 $P, A, B, C$ 是球 $O$ 的球面上的四个点， $P A, PB, PC$ 两两垂直且长度均为 $18$ 。 $M$ 是线段 $A P$ 上的点，且 $A M = 2 PM$ 。记过点 $M$ 与平面 $A BC$ 平行的平面为 $α$ ，则球 $O$ 被平面 $α$ 截得的截面周长为。

第 9 题

点 $P$ 是边长为 $2$ 的正八边形 $A BC D EFG H$ 边上的动点，则 $P A \cdot P D$ 的最大值为。

第 10 题

若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上有定义，且对于任意不同的 $x_{1}, x_{2} \in [a, b]$ ，都有

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ \leq k ∣ x_{1} - x_{2} ∣,

则称 $f (x)$ 为 $[a, b]$ 上的“ $k$ 类函数”。若

f (x) = m e^{x} - \frac{x ^{2}}{2} - 1

为 $[1, 2]$ 上的“ $2$ 类函数”，则实数 $m$ 的取值范围为。

第 11 题

记 $△ A BC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 。已知

\frac{c}{2 a - c} = \frac{a ^{2} + c ^{2} - b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}} .

(1)
求 $cos A cos C$ 的取值范围；
(2)
若角 $B$ 的平分线 $BE$ 与边 $A C$ 相交于点 $E$ ，且 $BE = 3$ ，求 $a + 4 c$ 的最小值。

第 12 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} + 2 a_{2} + \dots + n a_{n} = (n - 1) 2^{n + 1} + 2.

(1)
求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
设 $b_{n} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{a _{n}^{2}}$ ，记 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 。若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求证：
$i = 1 \sum n [S_{i}] < n .$

第 13 题

在等腰直角三角形 $D FC$ 中， $F D = FC$ ， $A, B, E$ 分别在线段 $D F, FC, C D$ 上，且

A B ∥ C D, A E ∥ FC .

已知 $F A = 1, A D = 2$ 。沿 $A E$ 将 $△ D A E$ 折起，使平面 $D A E ⊥$ 平面 $A BCE$ 。

(1)
求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B D$ ；
(2)
求平面 $B D C$ 与平面 $E D C$ 的夹角的余弦值；
(3)
点 $Q$ 在线段 $D F$ 上，设直线 $BQ$ 与直线 $D E$ 所成角为 $α$ ，求 $cos α$ 的最大值。

第 14 题

① 拐点又称反曲点。设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{''} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导函数。若方程 $f^{''} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，并且在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 左右两侧二阶导数符号相反，则称该点为函数 $y = f (x)$ 的拐点。

② 设 $a, b$ 为常数。若定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 对定义域内一切实数 $x$ 都有

f (a + x) + f (a - x) = 2 b

恒成立，则函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 对称。

（1）求证：任意三次函数

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq = 0)

的图象关于拐点对称。

（2）已知

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12},

求

f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{2}{2024}) + \dots + f (\frac{2023}{2024})

的值。

第 15 题

$n$ （ $n \geq 3$ ）个人围坐在圆形餐桌前吃饭，每个人面前及桌子正中央均各摆放一道菜，每人每次只能从中夹一道菜。

(1)
当 $n = 4$ 时，若每人都随机夹一道菜，且每道菜最多被夹一次，计算每个人夹的菜都不是餐桌正中间和自己面前的菜的概率；
(2)
现规定每个人只能在自己面前或餐桌正中央的两道菜中随机夹取一道菜，每个人都各夹过一道菜后，记被夹过的菜数为 $X_{n}$ 。求满足 $E (X_{n}) > 5$ 的 $n$ 的最小值。

第 16 题

已知椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0),

$C, D$ 是椭圆上 $x$ 轴同侧的两个点，分别过 $C, D$ 作椭圆的两条切线交于点 $P$ ，且两切线分别与 $x$ 轴交于点 $B, A$ 。线段 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ 。作 $EF ⊥ A B$ 于点 $F$ ，线段 $EF$ 的反向延长线分别与 $C D$ 交于点 $M$ 、与椭圆交于点 $N$ 。

(1)
求证： $P, E, F$ 三点共线；
(2)
求证： $P M^{2} = P F^{2} + M F^{2} - 2 N F^{2}$ 。

第 17 题

定义 $N_{+}$ 上的函数

σ (n) = d_{1} + d_{2} + \dots + d_{s},

其中 $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{s}$ 为 $n$ 的所有正因数。若 $σ (n) = 2 n$ ，则称正整数 $n$ 为完美数。例如，

σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 \times 6,

因此 $6$ 是一个完美数；而

σ (9) = 1 + 3 + 9 = 13 \neq = 2 \times 9,

因此 $9$ 不是完美数。

(1)
判断 $σ (23), σ (88), σ (2024)$ 满足的数量关系，并说明理由；
(2)
已知 $2^{k} - 1$ 为素数，求证： $2^{k - 1} (2^{k} - 1)$ 是完美数；
(3)
是否存在完美数 $q$ ，其可表示为某个正整数的平方？若存在，求出 $q$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由。