2012 年辽宁预赛

用 $1,2,3$ 三个数字组成四位数，要求三个数字都出现，且相同的数字不相邻。这样的四位数共有（ ）。
(A) $24$ 个  (B) $18$ 个  (C) $15$ 个  (D) $12$ 个

设 $A_k=\left\{x|x=kt+\frac{1}{kt},\frac{1}{k^2}\le t\le 1\right\}$（$k=2,3,\dots ,2012$），则所有 $A_k$ 的交集为（ ）。
(A) $\varnothing$  (B) $\{2\}$
(C) $\left[2,\frac{5}{2}\right]$  (D) $\left[2,\frac{2012^2+1}{2012}\right]$

$f(x)$ 是定义在 $(0,1)$ 上的函数，对任意 $1<x<y<+\infty$，有
$f\left(\frac{1}{x}\right)-f\left(\frac{1}{y}\right)=f\left(\frac{x-y}{1-xy}\right)$.
记 $a_n=f\left(\frac{1}{n^2+5n+5}\right)$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），则 $a_1+a_2+\cdots +a_8=$（ ）。
(A) $f(1/2)$  (B) $f(1/3)$  (C) $f(1/4)$  (D) $f(1/5)$

设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右焦点为 $F$。过点 $F$ 作与 $x$ 轴垂直的直线 $\ell$，交两条渐近线于 $A,B$ 两点，$P$ 是 $\ell$ 与双曲线的一个交点。设 $O$ 为坐标原点，若有实数 $m,n$ 使得 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，且 $mn=\frac{2}{9}$，则该双曲线的离心率为（ ）。
(A) $\frac{3\sqrt{2}}{4}$  (B) $\frac{9}{8}$
(C) $\frac{3\sqrt{5}}{5}$  (D) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

在 $△ABC$ 中，设 $BC=a,AC=b,AB=c$。则等式
${\sin }^2\frac{A}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{C}{2}={\cos }^2\frac{B}{2}$
成立的充分必要条件是（ ）。
(A) $ca=b^2$  (B) $a+b=2c$
(C) $b+c=2a$  (D) $c+a=2b$

设 $S=\{(x,y)\mid -2\le y\le |x|,-2\le x\le 2\}$。若 $(x,y)\in S$，且使得二次方程
$t^2+(|x|-1)t+|y|-2=0$
的一个根大于 $1$、一个根小于 $1$，则该事件的概率是（ ）。
(A) $\frac{1}{2}$  (B) $\frac{2}{3}$  (C) $\frac{3}{4}$  (D) $1$

设
$S=\left\{z||z-7-8i|=|z_1^4+1-2z_1^2|;z,z_1\in \mathbb{C},|z_1|=1\right\}$。
则 $S$ 在复平面内所对应区域的面积是。

计算
$\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots +2012}\right)=$。

设函数 $f(x)=\frac{1}{2}+{\log }_2\frac{x}{1-x}$，$S_n=\sum _{i=1}^{n-1}f\left(\frac{i}{n}\right)$，其中 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且 $n\ge 2$，则 $S_n=$。

不等式

$\frac{8}{(x+1{)}^3}+\frac{10}{x+1}-x^3-5x>0$

的解集为。

已知点 $P$ 在曲线 $y=e^x$ 上，点 $Q$ 在曲线 $y=\ln x$ 上，则 $|PQ|$ 的最小值是。

在四面体 $ABCD$ 中，$AD=2\sqrt{3}$，$\angle BAC=60^{\circ }$，$\angle BAD=\angle CAD=45^{\circ }$。若过 $D$、与平面 $ABC$ 相切且与该四面体的外接球面相内切的球面的半径为 $1$，则四面体 $ABCD$ 外接球面的半径为。

设实数 $a,b$ 满足

$3^a+13^b=17^a,5^a+7^b=11^b$。

证明：$a<b$.

已知中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆过点 $\left(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。设不过原点 $O$ 的直线 $\ell$ 与该椭圆交于 $P,Q$ 两点，且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率依次成等比数列，求 $△OPQ$ 面积的取值范围。

如图，已知 $PA,PB$ 是由圆 $\odot O$ 外一点 $P$ 引出的两条切线，$M,N$ 分别是线段 $AP,AB$ 的中点，直线 $MN$ 交 $\odot O$ 于 $C,E$ 两点，点 $N$ 在 $M$ 与 $C$ 之间，$PC$ 交 $\odot O$ 于点 $D$，延长 $ND$ 交 $PB$ 于点 $Q$。
证明：四边形 $MNQP$ 为菱形。

设递增数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且
$4a_{n+1}=5a_n+\sqrt{9a_n^2+16}(n\ge 1,n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$。
(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
(2) 证明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots +\frac{1}{a_n}<2$.