培玉 · 一试

2014 年湖南预赛

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第 1 题

设

M = {a ∣ a = x^{2} - y^{2}, x, y \in Z},

则（）。

(A)
$9 \in M, 10 \in M$
(B)
$9 \in / M, 10 \in M$
(C)
$9 \in M, 10 \in / M$
(D)
$9 \in / M, 10 \in / M$

第 2 题

2. 设条件 $p$ ：实数 $m, n$ 满足

{2 < m + n < 4, 0 < mn < 3,

条件 $q$ ：实数 $m, n$ 满足

{0 < m < 1, 2 < n < 3.

则（）.

(A)
$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件
(B)
$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件
(C)
$p$ 是 $q$ 的充要条件
(D)
$p$ 既不是 $q$ 的充分条件又不是 $q$ 的必要条件

第 3 题

3. 若 ${a_{n}}$ 是等差数列，首项 $a_{1} > 0$ ，且

a_{2003} + a_{2004} > 0, a_{2003} a_{2004} < 0,

则使前 $n$ 项和 $S_{n} > 0$ 成立的最大自然数 $n$ 是（）.

(A)
$4005$
(B)
$4006$
(C)
$4007$
(D)
$4008$

第 4 题

4. 给定平面向量 $a = (1, 1)$ ，那么，平面向量

b = (\frac{1 - 3}{2}, \frac{1 + 3}{2})

是向量 $a$ 经过（）所得.

(A)
顺时针旋转 $6 0^{\circ}$
(B)
顺时针旋转 $12 0^{\circ}$
(C)
逆时针旋转 $6 0^{\circ}$
(D)
逆时针旋转 $12 0^{\circ}$

第 5 题

5. 在如图所示的三棱柱中，点 $A$ 、 $B B_{1}$ 的中点 $M$ 以及 $B_{1} C_{1}$ 的中点 $N$ 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分的体积和原三棱柱的体积之比为（）.

(A)
$\frac{23}{36}$
(B)
$\frac{13}{36}$
(C)
$\frac{13}{23}$
(D)
$\frac{12}{23}$

第 6 题

6. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，两点 $P, P^{*}$ 在以 $O$ 为起点的射线上，并且满足

∣ OP ∣ ∣ O P^{*} ∣ = r^{2},

则称 $P, P^{*}$ 关于圆周 $C$ 对称.那么双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 上的点 $P (x, y)$ 关于单位圆周 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ 的对称点 $P^{*}$ 所满足的方程是（）.

(A)
$x^{2} - y^{2} = x^{4} + y^{4}$
(B)
$x^{2} - y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2}$
(C)
$x^{2} - y^{2} = 2 (x^{4} + y^{4})$
(D)
$x^{2} - y^{2} = 2 (x^{2} + y^{2})^{2}$

第 7 题

7. 已知

f (x) = x^{2} - 53 x + 196 + x^{2} - 53 x + 196,

则 $f (20) + f (14) =$ .

第 8 题

8. 已知 $0 < x < \frac{π}{2}$ ， $sin x - cos x = \frac{π}{4}$ ，若

tan x + \frac{1}{tan x}

可以表示成 $\frac{a}{b - π ^{c}}$ 的形式（ $a, b, c$ 是正整数），则 $a + b + c =$ .

第 9 题

不等式

∣ x ∣^{3} - 2 x^{2} - 4∣ x ∣ + 3 < 0

的解集是。

第 10 题

10. 已知一无穷等差数列中有 3 项（顺次排列但不一定相连）： $13, 25, 41$ ，则可以判断得出 $2013$ （填“是”、“不是”或“不能确定”）数列中的一项.

第 11 题

11. 随机挑选一个三位数 $I$ ，则 $I$ 含有因子 $5$ 的概率为.

第 12 题

12. 已知实数 $x, y$ 满足

⎩ ⎨ ⎧ x - y \leq 0, x + y - 5 \geq 0, y - 3 \leq 0,

若不等式

a (x^{2} + y^{2}) \leq (x + y)^{2}

恒成立，则实数 $a$ 的最大值是.

第 13 题

13. 已知 $O$ 为 $△ A BC$ 的内部一点，

∠ B A O = ∠ C A O = ∠ CBO = ∠ A CO,

试探究 $△ A BC$ 的三边满足的关系，并证明你的结论.

第 14 题

14. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第 $n$ 个月从事旅游服务工作的人数 $f (n)$ 可近似地用函数

f (n) = 100 [A cos (ωn + α) + k]

来刻画，其中正整数 $n$ 表示月份且 $n \in N^{*}$ （例如 $n = 1$ 表示 1 月份）， $A$ 和 $k$ 是正整数， $ω > 0$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ .

统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：

1.
每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
2.
该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 400 人；
3.
2 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 100 人，随后逐月递增直到 8 月份达到最多.

(1)
试根据已知信息，确定一个符合条件的 $f (n)$ 的表达式；
(2)
一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.

第 15 题

若实数 $x_{0}$ 满足 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x = x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个不动点。已知

f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 3

（其中 $a, b$ 为常数）有互异的两个极值点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 。试判断是否存在实数组 $(a, b)$ ，使得 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 皆为不动点，并证明你的结论。

第 16 题

16. 已知数列 ${x_{n}}$ 满足

x_{n + 2} = 2 x_{n + 1} + x_{n}, x_{1} = 2, x_{2} = 6;

数列 ${y_{n}}$ 满足

y_{n + 2} = y_{n + 1} + 2 y_{n}, y_{1} = 3, y_{2} = 9.

求证：存在正整数 $n_{0}$ ，使得对任意 $n > n_{0}$ 都有 $x_{n} > y_{n}$ .