培玉 · 一试

2017 年湖南预赛

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第 1 题

设集合

X = {1, 2, \dots, 2017},

集合

S = {(x, y, z) ∣ x, y, z \in X, 且三条件 x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一个成立} .

若 $(x, y, z) \in S$ 且 $(z, w, x) \in S$ ，则下列选项正确的是（）。

(A)
$(y, z, w) \in S$ 且 $(x, y, w) \in / S$
(B)
$(y, z, w) \in S$ 且 $(x, y, w) \in S$
(C)
$(y, z, w) \in / S$ 且 $(x, y, w) \in S$
(D)
$(y, z, w) \in / S$ 且 $(x, y, w) \in / S$

第 2 题

已知点 $P$ 为正三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 上底面 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心，作平面 $BC D ⊥ A P$ ，与棱 $A A_{1}$ 交于 $D$ 。若 $A A_{1} = 2 A B = 2$ ，则三棱锥 $D$ - $A BC$ 的体积为（）。

(A)
$\frac{3}{48}$
(B)
$\frac{3}{24}$
(C)
$\frac{3}{16}$
(D)
$\frac{3}{12}$

第 3 题

已知椭圆 $C$ ：

\frac{x ^{2}}{8} + \frac{y ^{2}}{4} = 1.

对于任意实数 $k$ ，椭圆 $C$ 被下列直线中所截得的弦长，与被直线 $l : y = k x + 1$ 所截得的弦长不可能相等的是（）。

(A)
$k x + y + k = 0$
(B)
$k x - y - 1 = 0$
(C)
$k x + y - k = 0$
(D)
$k x + y - 2 = 0$

第 4 题

对任意正整数 $n$ 与 $k$ （ $k \leq n$ ），用 $f (n, k)$ 表示不超过 $⌊ \frac{n}{k} ⌋$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数（其中 $⌊ x ⌋$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则

f (100, 3) = .

(A)
$11$
(B)
$13$
(C)
$14$
(D)
$19$

第 5 题

如果 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的三个内角的余弦值分别等于 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的三个内角的正弦值，则（）。

(A)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是锐角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 也是锐角三角形
(B)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是钝角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 也是钝角三角形
(C)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是锐角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 则是钝角三角形
(D)
$△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是钝角三角形， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 则是锐角三角形

第 6 题

将石子摆成如图所示的梯形形状，称具有“梯形”结构的石子数依次构成的数列 ${a_{n}} : 5, 9, 14, 20, \dots$ 为“梯形数列”。根据“梯形”的构成，可知

a_{624} = .

(A)
$166247$
(B)
$196248$
(C)
$196249$
(D)
$196250$

第 7 题

已知函数 $f (x)$ 满足 $f (m + n) = f (m) f (n)$ ， $f (1) = 3$ ，则

\frac{f ^{2} ( 1 ) + f ( 2 )}{f ( 1 )} + \frac{f ^{2} ( 2 ) + f ( 4 )}{f ( 3 )} + \frac{f ^{2} ( 3 ) + f ( 6 )}{f ( 5 )} + \frac{f ^{2} ( 4 ) + f ( 8 )}{f ( 7 )} = .

第 8 题

已知 $A, B, C$ 为 $⊙ O$ 上三点，且

A O = \frac{1}{2} (A B + A C),

则数量积 $A B \cdot A C = .$

第 9 题

已知 $z \in C$ ，若关于 $x$ 的方程

4 x^{2} - 8 z x + 4 i + 3 = 0 (i 为虚数单位)

有实数根，则复数 $z$ 的模 $∣ z ∣$ 的最小值是 $.$

第 10 题

对正整数 $n$ ，定义 $n! = n (n - 1) (n - 2) \dots 2 \cdot 1$ ，记

S_{n} = n! [\frac{1}{2 !} + \frac{2}{3 !} + \dots + \frac{n}{( n + 1 )!} - 1],

则

S_{2017} = .

第 11 题

设 $0 \leq x \leq π$ ，且

3 sin \frac{x}{2} = 1 + sin x - 1 - sin x,

则

tan x = .

第 12 题

设函数 $f (x)$ 定义在 $(- \infty, 0)$ 上且可导，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，并且有

2 f (x) + x f^{'} (x) > x^{2},

则不等式

(x + 2017)^{2} f (x + 2017) - f (- 1) > 0

的解集为。

第 13 题

在锐角 $△ A BC$ 中， $sin A = \frac{4 5}{9}$ ，且 $a, b, c$ 为 $A, B, C$ 的对边。

(1)
求 $sin 2 (B + C) + sin^{2} \frac{B + C}{2}$ 的值；
(2)
若 $a = 4$ ，求当 $A B \cdot A C$ 取得最大值时， $△ A BC$ 的面积 $S_{△ A BC}$ 的值。

第 14 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，

a_{n + 1} = - \frac{( S _{n} - 1 ) ^{2}}{S _{n}} (n \in N^{+}),

其中 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和。

(1)
求证： ${\frac{1}{S _{n} - 1}}$ 为等差数列；
(2)
若对任意的 $n$ ，均有
$(S_{1} + 1) (S_{2} + 1) \dots (S_{n} + 1) \geq kn,$
试求 $k$ 的最大值。

第 15 题

已知 $a, b \in R_{+}$ 且 $a \neq = b$ 。

(1)
求证：
$ab < \frac{a - b}{ln a - ln b} < \frac{a + b}{2};$
(2)
如果 $a, b$ 是 $f (x) = ln x - \frac{1}{2017} x$ 的两个零点，求证： $ab > e^{2}$ 。

第 16 题

如图所示， $A B$ 是椭圆

m x^{2} + n y^{2} = 1 (m, n > 0, m \neq = n)

的斜率等于 $1$ 的弦， $A B$ 的垂直平分线与椭圆交于两点 $C, D$ 。

图中 $E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点。

(1)
求证： $∣ C D ∣^{2} - ∣ A B ∣^{2} = 4∣ EF ∣^{2}$ ；
(2)
求证：四点 $A, B, C, D$ 共圆。