培玉 · 一试

2008 年湖南预赛

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按原题序浏览；已整理 16/18 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

定义集合运算

A \otimes B = {z ∣ z = x y, x \in A, y \in B} .

设 $A = {2, 0}$ ， $B = {0, 8}$ ，则集合 $A \otimes B$ 的所有元素之和为（）。

(A)
$16$
(B)
$18$
(C)
$20$
(D)
$22$

第 2 题

本题整理中，不计分。

第 3 题

$5$ 名志愿者随机进入 $3$ 个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（）。

(A)
$\frac{3}{5}$
(B)
$\frac{1}{15}$
(C)
$\frac{5}{8}$
(D)
$\frac{50}{81}$

第 4 题

已知 $a$ 、 $b$ 为非零不共线的向量，设

条件 M : b ⊥ (a - b); 条件 N : 对一切 x \in R, ∣ a - x b ∣ \geq ∣ a - b ∣ 恒成立 .

则 $M$ 是 $N$ 的（）。

(A)
必要而不充分条件
(B)
充分而不必要条件
(C)
充分且必要条件
(D)
既不充分又不必要条件

第 5 题

设函数 $f (x)$ 定义在 $R$ 上，给出下述三个命题：

(1)
满足条件 $f (x + 2) + f (2 - x) = 4$ 的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 2)$ 对称；
(2)
满足条件 $f (x + 2) = f (2 - x)$ 的函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称；
(3)
函数 $f (x - 2)$ 与 $f (- x + 2)$ 在同一坐标系中，其图象关于直线 $x = 2$ 对称。

其中真命题的个数是（）。

(A)
$0$
(B)
$1$
(C)
$2$
(D)
$3$

第 6 题

连接球面上两点的线段称为球的弦。半径为 $4$ 的球的两条弦 $A B$ 、 $C D$ 的长度分别等于 $27$ 和 $43$ ， $M$ 、 $N$ 分别为 $A B$ 、 $C D$ 的中点。两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：

(1)
弦 $A B$ 、 $C D$ 可能相交于点 $M$ ；
(2)
弦 $A B$ 、 $C D$ 可能相交于点 $N$ ；
(3)
$MN$ 的最大值为 $5$ ；
(4)
$MN$ 的最小值为 $1$ 。

其中真命题为（）。

(A)
(1)(3)(4)
(B)
(1)(2)(3)
(C)
(1)(2)(4)
(D)
(2)(3)(4)

第 7 题

设

a = sin (sin 200 8^{\circ}), b = sin (cos 200 8^{\circ}), c = cos (sin 200 8^{\circ}), d = cos (cos 200 8^{\circ}),

则 $a, b, c, d$ 的大小关系是（）。

(A)
$a < b < c < d$
(B)
$b < a < d < c$
(C)
$c < d < b < a$
(D)
$d < c < a < b$

第 8 题

设函数

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 14,

且 $f (a) = 1$ ， $f (b) = 19$ ，则 $a + b =$ （）。

(A)
$2$
(B)
$1$
(C)
$0$
(D)
$- 2$

第 9 题

在平面直角坐标系中，定义点 $P (x_{1}, y_{1})$ 、 $Q (x_{2}, y_{2})$ 之间的“直角距离”为

d (P, Q) = ∣ x_{1} - x_{2} ∣ + ∣ y_{1} - y_{2} ∣.

若 $C (x, y)$ 到点 $A (1, 3)$ 、 $B (6, 9)$ 的“直角距离”相等，其中实数 $x, y$ 满足 $0 \leq x \leq 10$ 、 $0 \leq y \leq 10$ ，则所有满足条件点 $C$ 的轨迹的长度之和为。

第 10 题

已知集合

Ω = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2008} .

若点 $P (x, y)$ 、 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 满足 $x \leq x^{'}$ 且 $y \geq y^{'}$ ，则称点 $P$ 优于 $P^{'}$ 。如果集合 $Ω$ 中的点 $Q$ 满足：不存在 $Ω$ 中的其他点优于 $Q$ ，则所有这样的点 $Q$ 构成的集合为。

第 11 题

多项式

(1 + x + x^{2} + \dots + x^{100})^{3}

的展开式在合并同类项后， $x^{150}$ 的系数为。（用数字作答）

第 12 题

一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面。已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 $\frac{9}{8}$ ，底面周长为 $3$ ，则这个球的体积为。

第 13 题

将一个 $4 \times 4$ 棋盘中的 $8$ 个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有种不同的染法。（用数字作答）

第 14 题

某学校数学课外活动小组，在坐标纸上模拟设计沙漠植树方案如下：第 $k$ 棵树种植在点 $P_{k} (x_{k}, y_{k})$ 处，其中 $x_{1} = 1$ ， $y_{1} = 1$ ，当 $k \geq 2$ 时，

⎩ ⎨ ⎧ x_{k} = x_{k - 1} + 1 - 5 [\frac{k - 1}{5}] + 5 [\frac{k - 2}{5}], y_{k} = y_{k - 1} + [\frac{k - 1}{5}] - [\frac{k - 2}{5}] .

其中， $[a]$ 表示实数 $a$ 的整数部分，例如 $[2.6] = 2$ 、 $[0.6] = 0$ 。按此方案，第 $2008$ 棵树种植点的坐标为。

第 15 题

设实数 $a, b \in [α, β]$ ，求证：

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \leq \frac{β}{α} + \frac{α}{β},

其中等号当且仅当 $a = α, b = β$ 或 $a = β, b = α$ 时成立， $α, β$ 为正实数。

第 16 题

本题整理中，不计分。

第 17 题

已知函数 $f (x) = ln (1 + x) - x$ 在区间 $[0, n]$ （ $n \in N^{*}$ ）上的最小值为 $b_{n}$ ，令

a_{n} = ln (1 + n) - b_{n}, p_{k} = \frac{a _{1} a _{3} \dots a _{2 k - 1}}{a _{2} a _{4} \dots a _{2 k}} (k \in N^{*}) .

求证：

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} < 2 a_{n} + 1 - 1.

第 18 题

过直线 $l : 5 x - 7 y - 70 = 0$ 上的点 $P$ 作椭圆

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

的切线 $PM$ 、 $PN$ ，切点分别为 $M, N$ ，连接 $MN$ 。

(1)
当点 $P$ 在直线 $l$ 上运动时，证明：直线 $MN$ 恒过定点 $Q$ ；
(2)
当 $MN ∥ l$ 时，证明：定点 $Q$ 平分线段 $MN$ 。