2015 年天津预赛

设 $A,B,C$ 是三个集合，则“$B$ 和 $C$ 都是 $A$ 的子集”是“$(A\cap B)\cup (A\cap C)=B\cup C$ 成立”的（ ）。

1. (A)

   充分条件，但不是必要条件

2. (B)

   必要条件，但不是充分条件

3. (C)

   充分必要条件

4. (D)

   既非充分也非必要条件

方程 $|y|=1+\sqrt{2x-x^2}$ 表示的曲线是（ ）。

1. (A)

   一个圆

2. (B)

   两个半圆

3. (C)

   一个椭圆

4. (D)

   以上结论都不对

用 $\lfloor x\rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，方程

共有（ ）个不同的实根。

1. (A)

   $1$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $3$

4. (D)

   $4$

方程

共有（ ）个不同的实根。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $1$

3. (C)

   $2$

4. (D)

   $3$

在正方体的 $12$ 条面对角线和 $4$ 条体对角线中随机地选取两条对角线，则这两条对角线所在的直线为异面直线的概率等于（ ）。

1. (A)

   $\frac{7}{30}$

2. (B)

   $\frac{9}{20}$

3. (C)

   $\frac{7}{15}$

4. (D)

   以上结果都不对

设 $△ABC$ 的周长为 $12$，内切圆的半径为 $1$，则（ ）。

1. (A)

   $△ABC$ 必为直角三角形

2. (B)

   $△ABC$ 必为锐角三角形

3. (C)

   $△ABC$ 必为直角三角形或锐角三角形

4. (D)

   以上结论都不对

在正四棱锥 $P$-$ABCD$ 中，四个侧面都是等边三角形。用 $\theta$ 记该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，则 $\tan \theta$ 等于。

设数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是等差数列，$A_n,B_n$ 分别是数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的前 $n$ 项之和，已知

则 $\frac{a_8}{b_8}$ 等于。

设 $O$ 是原点，点 $A$ 是抛物线 $x=\frac{1}{4}{y}^2+1$ 上的一个动点，点 $B$ 是抛物线 $y=x^2+4$ 上的一个动点，则 $△OAB$ 的面积的最小值为。

设

则 $s$ 除以 $100$ 的余数是。

设复数

则

的值为（用数字作答）。

设 $a,b,c$ 都是实数，$a+2b+3c+4d=\sqrt{10}$，则

的最小值是。

设

证明：对任意 $x\in \left(\frac{\sqrt{2}}{2},1\right]$，有

已知正三角形 $ABC$ 内接于抛物线 $x=y^2$，$△ABC$ 的重心 $P$ 落在双曲线 $xy=1$ 上，求点 $P$ 的坐标。

设 $a_1=1,a_2=8$，且

1. (1)

   证明：存在常数 $C>0$，使得对任意正整数 $n$，有 $a_n\le C{n}^2$；

2. (2)

   证明：对任意正整数 $n$，有 $a_{n+1}-a_n\le 4n+3$。