2024 年山东预赛

使函数

的定义域为 $(-\infty ,1]$ 的所有实数 $k$ 的值是。

设椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$ 的左焦点为 $F$，动点 $P$ 在 $y$ 轴上，直线 $PF$ 交椭圆于 $M,N$。设向量

则 ${\lambda }_1+{\lambda }_2=$。

正四棱锥 $P-ABCD$ 中，$M,N$ 分别是 $PA,PB$ 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值是 $\sqrt{2}$。则直线 $DM,AN$ 夹角的余弦值是。

设数列 $\{a_n\}$ 满足

则 $[a_{2024}]=$。

设 $△ABC$ 的垂心为 $H$，外心为 $O$，外接圆半径为 $3$，$|OH|=1$。记 $BC=a,CA=b,AB=c$，则 $a^2+b^2+c^2=$。

设 $\theta \in \mathbb{R}$ 满足 $\cos \theta$ 为有理数，则使得 $\cos n\theta$ 也是有理数的所有正整数 $n$ 的集合是。

口袋中有大小相同的 $6$ 个红球、$2$ 个白球，从中一个一个摸球（不放回），直到 $2$ 个白球都摸出，即停止摸球。则停止摸球后袋内所剩红球个数的期望值是。

设复数 $z_1,z_2$ 在复平面上对应的点分别为 $P_1,P_2$，且满足 $\frac{z_1-2}{z_1+2}$ 是纯虚数，

则 $△P_{1}O{P}_2$ 的面积等于。

满足

的所有正整数对 $(x,y)=$。

设 $x,y,z\ge 0$，$x+y+z=2$，则

的最大值与最小值之和为。

设 $A,B$ 为函数 $y=1-x^2$ 的图像上在 $y$ 轴两侧的动点。求过 $A,B$ 的切线与 $x$ 轴围成三角形面积的最小值。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 和

试求使 $1\le a_n<a_{n+1}\le 2$ 对所有 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 恒成立的最小正整数 $b$。

设双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{4}=1$，$P_1\left(\frac{5}{4},\frac{3}{2}\right)$ 在 $C$ 上。按照如下规则构造点列 $\{P_n\}(n\ge 2)$：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $1$ 的直线交 $C$ 于另一点 $Q_{n-1}$，$Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $P_n$，记 $P_n(x_n,y_n)$。求证： （1）数列 $\{2x_n-y_n\}$ 是等比数列； （2）$△P_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}$ 的面积为常数。

给定整数 $n>1$，且 $x_1,x_2,\dots ,x_n\in [a,a+1]$（$a\in \mathbb{R}$）。求证：

在四边形 $ABCD$ 中，已知 $AB\ne AC$，$△ABC$ 的内切圆 $\odot I$ 与边 $BC$ 切于 $E$。如果

求证：$\angle ADI=90^{\circ }$。