2011 年辽宁预赛

已知 $x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R}$，则“$|x|<1$ 且 $|y|<1$”是“$|x+y|+|x-y|<2$”的（ ）。
(A) 充分条件而非必要条件  (B) 必要条件而非充分条件
(C) 充分必要条件  (D) 即非充分条件亦非必要条件。

函数 $f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x}$ 的值域为（ ）。
(A) $[1,\sqrt{2}]$  (B) $[1,\frac{3}{2}]$  (C) $[1,\sqrt{3}]$  (D) $[1,2]$。

一个盒子里有 $3$ 个黑球和 $4$ 个白球，现从盒子里随机每次取出一个球，取出后不再放回，每个球被取出的可能性相等，直到某种颜色的球全部被取出。最后取出的是黑球的概率是（ ）。
(A) $\frac{3}{5}$  (B) $\frac{4}{7}$  (C) $\frac{1}{2}$  (D) $\frac{1}{7}$。

$l$ 和 $l^{\prime }$ 是互相垂直的异面直线，$l$ 与平面 $\pi$ 平行，$l^{\prime }$ 在平面 $\pi$ 内。在平面 $\pi$ 内到 $l$ 和 $l^{\prime }$ 距离相等的点的轨迹是（ ）。
(A) 直线  (B) 椭圆  (C) 抛物线  (D) 双曲线。

设正数数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项之和为 $b_n$，数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项之积为 $c_n$，且 $b_n+c_n=1$，则数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 中最接近 $2011$ 的数是（ ）。
(A) $1980$  (B) $2010$  (C) $2040$  (D) $2070$。

正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，在侧面对角线 $A_{1}D$ 上取点 $M$，$C{D}_1$ 上取点 $N$，使得线段 $MN$ 平行于对角面 $A_{1}AC{C}_1$，则这样的 $MN$ 长度最小值为（ ）。
(A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$  (B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$  (C) $1$  (D) $\sqrt{2}$.

设 $(1+x-x^2{)}^{10}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{20}{x}^{20}$，则 $a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots +20a_{20}=$。

直线 $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$ 与抛物线 $y^2=4x$ 交于 $A,B$ 两点（$A$ 点在横轴上方），与 $x$ 轴交于点 $F$。若 $\overrightarrow{OF}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$，则 ${\mu }^2-{\lambda }^2=$。

已知正实数集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,\dots ,a_{100}\}$，设集合 $S=\{(a,b)\mid a\in A,b\in A,a-b\in A\}$，则集合 $S$ 中的元素最多有个。

函数 $y=\sin x+\sqrt{2+{\cos }^{2}x}$ 的最大值与最小值之和为。

设函数 $f(x)=\frac{1}{2}+{\log }_2\frac{x}{1-x}$，定义 $S_n=f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+f\left(\frac{3}{n}\right)+\cdots +f\left(\frac{n-1}{n}\right)$，其中 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 且 $n\ge 2$，则 $S_n=$。

将凸五边形 $ABCDE$ 的每个顶点染上 $5$ 种颜色之一，使每条对角线的两个端点颜色不同的染色方式共有种（用数字作答）。

求曲线 $y=2-\sqrt{1-4^x}$ 和 $y=a\cdot 2^x$（$a\in \mathbb{R}$）的交点。

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{1}{2}$，$F_1,F_2$ 为左、右焦点。过 $F_2$ 的直线与椭圆交于 $A,B$ 两点。若 $△F_{1}AB$ 面积的最大值为 $6$，求椭圆的方程。

如图，四边形 $ABCD$ 为圆 $O$ 的内接四边形，对边 $BC,AD$ 交于 $F$，$AB,DC$ 交于 $E$。$△ECF$ 的外接圆与圆 $O$ 的另一交点为 $H$，$AH$ 交 $EF$ 于 $M$，$MC$ 交圆 $O$ 于 $G$。 证明： （1）$M$ 为 $EF$ 中点； （2）$A,G,E,F$ 四点共圆。

已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f_n(x)$ 具有下列性质：

(1) 当 $n$ 为定值时，记 $a_k=\frac{1}{f_n(k/n)}$，求 $a_k$ 的表达式；   (2) 对 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，证明 $\frac{1}{4}<f_n(1)\le \frac{1}{3}$。