2011 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

固定 $n$，记 $F_k=f_n(k/n)$。题式等价于 $F_{k+1}=n{F}_k/(n+1-F_k)$。从 $F_0=1/2$ 出发可归纳 $0<F_k<1$，所以倒数合法。令 $a_k=1/F_k$，得 $a_{k+1}=(1+1/n)a_k-1/n$，$a_0=2$。故 $\boxed{a_k=1+(1+1/n{)}^k}$。特别地 $f_n(1)=1/[1+(1+1/n{)}^n]$。二项式展开给 $(1+1/n{)}^n\ge 2$。当 $n\ge 2$，其余项满足 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)/n^j\le 1/j!$；又 $j!\ge 2^{j-1}$，故二次及以上项的有限和严格小于一。因此 $(1+1/n{)}^n<3$；$n=1$ 时此式也成立。于是 $\boxed{\frac{1}{4}<f_n(1)\le \frac{1}{3}}$。