2008 年陕西预赛

设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_2=10,S_5=55$，则经过 $P(n,a_n)$、$Q(n+2,a_{n+2})$ 两点的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）。

1. (A)

   $\left(2,\frac{1}{2}\right)$

2. (B)

   $\left(-\frac{1}{2},-2\right)$

3. (C)

   $\left(-\frac{1}{2},-1\right)$

4. (D)

   $(-1,-1)$

如图所示，在 $120^{\circ }$ 的二面角 $\alpha -l-\beta$ 内，圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 分别在半平面 $\alpha ,\beta$ 内，且与棱 $l$ 相切于同一点 $P$，则以圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 为截面的球（ ）。

1. (A)

   仅有1个

2. (B)

   仅有2个

3. (C)

   有无数个

4. (D)

   不存在

已知函数

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=f(n)(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$，且 $\{a_n\}$ 是递增数列，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $\left(\frac{9}{4},3\right)$

2. (B)

   $\left[\frac{9}{4},3\right)$

3. (C)

   $(1,3)$

4. (D)

   $(2,3)$

把分母为 $24$ 的所有最简真分数按从小到大的顺序排列，依次为 $a_1,a_2,\dots ,a_n$，则

的值是（ ）。

1. (A)

   $1$

2. (B)

   $\frac{1}{2}$

3. (C)

   $0$

4. (D)

   $-\frac{1}{2}$

集合

的子集共有（ ）。

1. (A)

   4个

2. (B)

   16个

3. (C)

   64个

4. (D)

   256个

已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为

其前 $n$ 项和为 $S_n$，则在数列 $S_1,S_2,\dots ,S_{2008}$ 中，有理数项共有（ ）。

1. (A)

   43项

2. (B)

   44项

3. (C)

   45项

4. (D)

   46项

函数

的最大值是（ ）。

1. (A)

   $1-2\sqrt{2}$

2. (B)

   $1+2\sqrt{2}$

3. (C)

   $-\sqrt{3}$

4. (D)

   $\sqrt{3}$

已知函数

则对于任意实数 $a,b$（$a+b\ne 0$），

的值（ ）。

1. (A)

   恒大于零

2. (B)

   恒等于零

3. (C)

   恒小于零

4. (D)

   符号不确定

在正三棱锥 $P-!ABC$ 中，$M$ 为 $△ABC$ 内（含边界）一动点，且点 $M$ 到三个侧面 $PAB,PBC,PCA$ 的距离成等差数列，则点 $M$ 的轨迹是（ ）。

1. (A)

   一条折线段

2. (B)

   一条线段

3. (C)

   一段圆弧

4. (D)

   一段抛物线

设 $k,m,n$ 均为整数，过圆

外一点 $P(m^3-m,n^3-n)$ 向该圆引两条切线，切点分别为 $A,B$，则直线 $AB$ 上整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）有（ ）。

1. (A)

   2个

2. (B)

   1个

3. (C)

   0个

4. (D)

   无数个

已知

则 $\frac{\tan \alpha }{\tan \beta }$ 的值是。

若

对任意实数 $x$ 都成立，则 $a_3$ 的值是。（用数字作答）

若实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=1$，则

的最小值是。

有20张卡片上分别写有数字 $1,2,3,\dots ,20$，将它们放入一个盒子内，有4个人从中不放回地各抽取一张卡片，抽到两个较小数字的两人在同一组，抽到两个较大数字的两人在同一组。现其中有两人抽到5和14，则此两人在同一组的概率等于。（用最简分数作答）

三条直线

将椭圆面

分成若干块。现用6种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有720种不同的涂法，则实数 $m$ 的取值范围是。