培玉 · 一试

2025 年吉林预赛

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按原题序浏览；已整理 15/16 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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第 1 题

将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为（）

A.
$120$
B.
$260$
C.
$340$
D.
$420$

第 2 题

已知三棱锥 $A - BC D$ 中，平面 $A B D ⊥$ 平面 $BC D$ ，若

A D = D B = BC = C D = 1, ∠ A D B = 12 0^{\circ},

则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A.
$\frac{7}{3} π$
B.
$\frac{10}{3} π$
C.
$\frac{13}{3} π$
D.
$\frac{20}{3} π$

第 3 题

已知函数

f (x) = ln (sin^{2} x + 1 + sin x) (x \in R),

则存在非零实数 $x_{0}$ ，使得（）

A.
$f (x_{0}) = - 1$
B.
$f (x_{0}) - f (- x_{0}) = 2$
C.
$f (f (x_{0})) = ln (2 + 1)$
D.
$f (π + x_{0}) - f (x_{0}) = \frac{3}{2}$

第 4 题

函数

f (x) = x^{2} + x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 5

的值域是（）

A.
$[1, + \infty)$
B.
$[2, + \infty)$
C.
$(23, + \infty)$
D.
$(4, + \infty)$

第 5 题

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $2$ ，焦点到渐近线的距离为 $6$ 。过 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A, B$ 两点，若 $H, G$ 分别为 $△ A F_{1} F_{2}$ 与 $△ B F_{1} F_{2}$ 的内心，则 $∣ H G ∣$ 的取值范围为（）

A.
$[22, \frac{4 6}{3})$
B.
$[3, 2)$
C.
$[2, \frac{4 3}{3})$
D.
$[22, 4]$

第 6 题

已知

x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1,

则 $x^{2} + 2 y - 2 z + 3$ 的取值范围是（）

A.
$[1, 4]$
B.
$[0, 5]$
C.
$[3 - 22, 3 + 22]$
D.
$(2, 5 + 2)$

第 7 题

若复数 $z$ 满足

∣ z + i ∣ + ∣ z - 2 - i ∣ = 22,

则 $∣ z ∣$ 的最小值为。

第 8 题

设 $a, b, c$ 是正整数，且成等比数列， $b - a$ 是一个完全平方数，

lo g_{6} a + lo g_{6} b + lo g_{6} c = 6,

则 $a + b + c =$ 。

第 9 题

设 $a < - 1$ ，变量 $x$ 满足

x^{2} + a x \leq - x,

且 $x^{2} + a x$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ 。

第 10 题

设 $P$ 为正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱 $A B$ 上的动点，则平面 $P D B_{1}$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的正切值的最小值为。

第 11 题

$6$ 名男生和 $x$ 名女生随机站成一排，每名男生都至少与另一男生相邻，至少有 $4$ 名男生站在一起的概率为 $p$ 。若

p \leq \frac{1}{100},

则 $x$ 的最小值为。

第 12 题

已知 $A, B, C$ 为 $△ A BC$ 的三个内角，向量

α = (cos \frac{A - B}{2}, 3 sin \frac{A + B}{2}), ∣ α ∣ = 2 .

如果当 $C$ 最大时，存在动点 $M$ ，使得 $∣ M A ∣, ∣ A B ∣, ∣ MB ∣$ 成等差数列，则

\frac{∣ MC ∣}{∣ A B ∣}

的最大值是。

第 13 题

本题整理中，不计分。

第 14 题

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{3 a ^{2}} = 1 (a > 0)

的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ 。 $P$ 是直线

l : x = \frac{a}{2}

上一点，且 $P$ 不在 $x$ 轴上。以点 $P$ 为圆心、线段 $PF$ 的长为半径的圆弧 $A F$ 交 $C$ 的右支于点 $N$ 。

（1）证明： $∠ A PN = 2∠ NPF$ ；

（2）取 $a = 1$ ，若直线 $PF$ 与 $C$ 的左、右两支分别交于 $E, D$ 两点，过 $E$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $R$ 。试判断直线 $D R$ 是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由。

第 15 题

在直角三角形 $A BC$ 中， $∠ B = 9 0^{\circ}$ ，它的内切圆分别与边 $BC, C A, A B$ 相切于点 $D, E, F$ 。连接 $A D$ ，与内切圆相交于另一点 $P$ ，连接 $PC, PE, PF$ 。已知 $PC ⊥ PF$ ，求证： $PE ∥ BC$ 。

第 16 题

对于每项均是正整数的数列

P : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n},

定义变换 $T_{1}$ ， $T_{1}$ 将数列 $P$ 变换成数列

T_{1} (P) : n, a_{1} - 1, a_{2} - 1, \dots, a_{n} - 1.

对于每项均是非负整数的数列

Q : b_{1}, b_{2}, \dots, b_{m},

定义

S (Q) = 2 (b_{1} + 2 b_{2} + \dots + m b_{m}) + b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots + b_{m}^{2} .

定义变换 $T_{2}$ ： $T_{2}$ 将数列 $Q$ 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 $T_{2} (Q)$ 。

（1）若数列 $P_{0}$ 为 $2, 4, 3, 7$ ，求 $S (T_{1} (P_{0}))$ 的值；

（2）对于每项均是正整数的有穷数列 $P_{0}$ ，令

P_{k + 1} = T_{2} (T_{1} (P_{k})), k \in N .

（i）探究 $S (T_{1} (P_{0}))$ 与 $S (P_{0})$ 的关系；

（ii）证明： $S (P_{k + 1}) \leq S (P_{k})$ 。