培玉 · 一试

2008 年河南预赛

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第 1 题

函数 $f (x) = lo g_{2} (x ∣ x ∣)$ 的单调递增区间是（）。

(A)
$(0, + \infty)$
(B)
$(- \infty, 0)$
(C)
$(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$
(D)
$(- \infty, + \infty)$

第 2 题

三角形 $A BC$ 的三个内角 $A, B, C$ 依次成等差数列， $sin A, sin B, sin C$ 依次成等比数列，则 $△ A BC$ （）。

(A)
是直角三角形，但不是等腰三角形
(B)
不是等腰三角形，也不是直角三角形
(C)
是等腰直角三角形
(D)
是等边三角形

第 3 题

三棱锥 $A$ - $BC D$ 的顶点 $A$ 在底面 $BC D$ 内的射影为点 $O$ ，且点 $O$ 到三个侧面的距离均相等，则点 $O$ 一定是 $△ BC D$ 的（）。

(A)
重心
(B)
垂心
(C)
内心
(D)
外心

第 4 题

抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A, B$ 在抛物线上，且 $∠ A FB = \frac{2 π}{3}$ 。弦 $A B$ 的中点 $M$ 在准线 $l$ 上的射影为 $M^{'}$ ，则 $\frac{∣ M M ^{'} ∣}{∣ A B ∣}$ 的最大值为（）。

(A)
$\frac{4 3}{3}$
(B)
$\frac{3}{3}$
(C)
$\frac{2 3}{3}$
(D)
$3$

第 5 题

正项数列 ${a_{n}}$ 满足

\frac{1}{a _{n} a _{n + 1}} + \frac{1}{a _{n} a _{n + 2}} + \frac{1}{a _{n + 1} a _{n + 2}} = 1 (n \in N^{*}),

且 $a_{1} + a_{3} = 6$ ， $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 单调递增且成等比数列。记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2008}]$ 的值是（ $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数）（）。

(A)
$5352$
(B)
$5353$
(C)
$5357$
(D)
$5358$

第 6 题

已知定义域是全体实数的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (x + 2 π) = f (x)$ ，且

g (x) = \frac{f ( x ) + f ( - x )}{2}, h (x) = \frac{f ( x ) - f ( - x )}{2} .

定义函数 $p (x), q (x)$ 如下（ $k \in Z$ ）：

p (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{g ( x ) - g ( x + π )}{2 cos x}, 0, x \neq = kπ + \frac{π}{2}, x = kπ + \frac{π}{2},

q (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{h ( x ) + h ( x + π )}{2 sin 2 x}, 0, x \neq = \frac{kπ}{2}, x = \frac{kπ}{2} .

则下列关于 $p (x), q (x)$ 叙述正确的是（）。

(A)
都是奇函数且周期为 $π$
(B)
都是偶函数且周期为 $π$
(C)
均无奇偶性但都有周期性
(D)
均无周期性但都有奇偶性

第 7 题

已知 $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，若 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 3}$ ，则不等式 $f (x) > 1$ 的解集为。

第 8 题

正方体 $A BC D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的面 $A BC D, A D D^{'} A^{'}$ 的中心分别为点 $M, N$ ，则异面直线 $MN$ 和 $B D^{'}$ 所成角的大小为。

第 9 题

若 $2008 = 2^{a_{1}} + 2^{a_{2}} + \dots + 2^{a_{n}}$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 为两两不相等的非负整数，则 $sin \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 、 $cos \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 、 $tan \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ 的大小关系为。（已知 $π = 3.141592 \dots$ 。）

第 10 题

自平面上一点 $O$ 引两条射线 $O A, OB$ ， $P$ 在 $O A$ 上运动， $Q$ 在 $OB$ 上运动且保持 $∣ PQ ∣$ 为定值 $a$ （ $P, Q$ 不与 $O$ 重合）。已知 $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ ， $a = 7$ ，则

\frac{PQ \cdot PO}{∣ PO ∣} + \frac{3 QP \cdot QO}{∣ QO ∣}

的取值范围是。

第 11 题

设 $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ，且 $(1 - x y)^{2} = 2 (1 - x) (1 - y)$ ，则函数

f (x, y) = \frac{1}{2} x y (1 - x y)

的最大值为。

第 12 题

设锐角三角形 $A BC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin A = 2 a sin B$ ， $△ A BC$ 的外接圆半径为 $\frac{3}{6}$ ，则 $△ A BC$ 周长的取值范围是。

第 13 题

直线 $l$ 是椭圆 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 的左准线， $F_{1}$ 是左焦点，动点 $P$ 在 $l$ 上运动。以线段 $P F_{1}$ 为一边的正三角形的第三个顶点为 $M$ ，且 $P, F_{1}, M$ 三点逆时针排列，求点 $M$ 的轨迹方程。

第 14 题

已知函数 $f (x) = x^{2} + x + 3$ ，如果对于一切正数 $a, b, c$ ，不等式

f (\frac{a + b + c}{3} - 3 ab c) \geq f (λ (\frac{a + b}{2} - ab))

恒成立，求正数 $λ$ 的最大值。

第 15 题

正四棱锥 $P$ - $A BC D$ 中 $A B = 3$ ，且侧面 $P A D$ 与侧面 $CP D$ 所成二面角大小为 $\frac{2 π}{3}$ 。

(1)
求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $PBC$ ；
(2)
判断该四棱锥是否存在外接球，若存在，求出该四棱锥外接球的体积；若不存在，请说明理由。

第 16 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且

a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + \frac{2 n + 3}{2 ^{n + 1}} (n \in N^{*}),

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
(2)
求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 。