2008 年河南预赛 · 第 16 题

解答

令 $d_n=2^n{a}_n$，则 $d_1=1$，$d_{n+1}-d_n=2n+3$。累加得 $d_n=n^2+2n-2$，所以 $\boxed{a_n=(n^2+2n-2)/2^n}$。有限和可由首项及相邻差确定：令 $H_n=8-(n^2+6n+8)/2^n$，有 $H_1=1/2$，$H_n-H_{n-1}=(n^2+2n-2)/2^n$。因此 $\boxed{S_n=8-\frac{n^2+6n+8}{2^n}}$。