2008 年河南预赛 · 第 5 题

解答

正项条件允许将原式乘以三项积，得 $a_n+a_{n+1}+a_{n+2}=a_n{a}_{n+1}{a}_{n+2}$。而原式又说明 $1/(a_{n+1}{a}_{n+2})<1$，故 $a_{n+1}{a}_{n+2}>1$。相邻两个乘积式相减，得到 $(a_n-a_{n+3})(1-a_{n+1}{a}_{n+2})=0$，因此 $a_{n+3}=a_n$。记初始三项为 $A,B,C$，则 $A+C=6,B^2=AC$，所以 $B^3=B+6$。分解为 $(B-2)(B^2+2B+3)=0$，得 $B=2$。由递增次序知 $A=3-\sqrt{5},C=3+\sqrt{5}$，每周期和八。因此 $S_{2008}=669\cdot 8+A=5355-\sqrt{5}\in (5352,5353)$，选 $\boxed{\mathrm{A}(5352)}$。