培玉 · 一试

2008 年河北预赛

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第 1 题

函数 $y = f (x + 2)$ 的图象过点 $(- 1, 3)$ ，则函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称的图形一定过点（）.

(A)
$(1, - 3)$
(B)
$(- 1, 3)$
(C)
$(- 3, - 3)$
(D)
$(- 3, 3)$

第 2 题

把 $2008$ 表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（）种.

(A)
$4$
(B)
$6$
(C)
$8$
(D)
$16$

第 3 题

若函数 $y = lo g_{a} (x^{2} - a x + 1)$ 有最小值，则 $a$ 的取值范围是（）.

(A)
$0 < a < 1$
(B)
$0 < a < 2, a \neq = 1$
(C)
$1 < a < 2$
(D)
$a \geq 2$

第 4 题

已知 $a > b$ ， $ab = 1$ ，则 $\frac{a ^{2} + b ^{2}}{a - b}$ 的最小值是（）.

(A)
$22$
(B)
$2$
(C)
$2$
(D)
$1$

第 5 题

已知 $cos x + cos y = 1$ ，则 $sin x - sin y$ 的取值范围是（）.

(A)
$[- 1, 1]$
(B)
$[- 2, 2]$
(C)
$[0, 3]$
(D)
$[- 3, 3]$

第 6 题

函数 $f (x)$ 是 $(0, + \infty)$ 上的单调递增函数，当 $n \in N^{*}$ 时， $f (n) \in N^{*}$ ，且 $f (f (n)) = 3 n$ ，则 $f (1)$ 的值等于（）.

(A)
$1$
(B)
$2$
(C)
$3$
(D)
$4$

第 7 题

设集合 $S = {1, 2, \dots, 15}$ ， $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ 是 $S$ 的子集，且 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 满足

1 \leq a_{1} < a_{2} < a_{3} \leq 15, a_{3} - a_{2} \leq 6.

那么满足条件的子集 $A$ 的个数为。

第 8 题

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ，

a_{n + 1} = a_{n} + 1 + 2 1 + a_{n} (n = 1, 2, \dots) ，

则 $a_{n} =$ 。

第 9 题

已知坐标平面上三点 $A (0, 3)$ 、 $B (- 3, 0)$ 、 $C (3, 0)$ ， $P$ 是坐标平面上的点，且 $P A = PB + PC$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为。

第 10 题

在三棱锥 $S$ - $A BC$ 中， $S A = 4$ ， $SB \geq 7$ ， $SC \geq 9$ ， $A B = 5$ ， $BC \leq 6$ ， $A C \leq 8$ 。则三棱锥 $S$ - $A BC$ 体积的最大值为。

第 11 题

从 $m$ 个男生、 $n$ 个女生（ $10 \geq m > n \geq 4$ ）中任选 $2$ 个人当组长。假设事件 $A$ 表示选出的 $2$ 个人性别相同，事件 $B$ 表示选出的 $2$ 个人性别不同。如果事件 $A$ 的概率和事件 $B$ 的概率相等，则 $(m, n)$ 的可能值为。

第 12 题

$O, A, B$ 是平面上不共线三点，向量 $O A = a$ ， $OB = b$ 。设 $P$ 为线段 $A B$ 垂直平分线上任意一点，向量 $OP = p$ 。若 $∣ a ∣ = 5$ ， $∣ b ∣ = 3$ ，则 $p \cdot (a - b)$ 的值是。

第 13 题

$a, b$ 是两个不相等的正数，且满足 $a^{3} - b^{3} = a^{2} - b^{2}$ ，求所有可能的整数 $c$ ，使得 $c = 9 ab$ 。

第 14 题

如图，斜三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为 $a$ ，侧面 $B_{1} C_{1} CB ⊥$ 底面 $A BC$ ，且 $A C_{1} ⊥ BC$ 。

(1)
求异面直线 $A A_{1}$ 与 $B_{1} C_{1}$ 间的距离；
(2)
求侧面 $A_{1} B_{1} B A$ 与底面 $A BC$ 所成二面角的度数。

第 15 题

设向量 $i, j$ 分别为直角坐标平面内 $x$ 轴、 $y$ 轴正方向上的单位向量。若

a = (x + 2) i + y j, b = (x - 2) i + y j,

且 $∣ a ∣ - ∣ b ∣ = 2$ 。

(1)
求满足上述条件的点 $P (x, y)$ 的轨迹方程；
(2)
设 $A (- 1, 0)$ 、 $F (2, 0)$ ，问：是否存在常数 $λ$ （ $λ > 0$ ），使得 $∠ PF A = λ ∠ P A F$ 恒成立？证明你的结论。