2018 年天津预赛

如果集合 $A=\{1,2,3,\dots ,10\}$，$B=\{1,2,3,4\}$，$C$ 是 $A$ 的子集，且 $C\cap B\ne \varnothing$，则这样的子集 $C$ 有（ ）个。

1. (A)

   $256$

2. (B)

   $959$

3. (C)

   $960$

4. (D)

   $961$

等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2+a_{11}+a_{14}=-6$，则前 $17$ 项的和 $a_1+a_2+\cdots +a_{17}$ 等于（ ）。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $-34$

3. (C)

   $17$

4. (D)

   $34$

设 $f(x)=\cos (\omega x)$ 的最小正周期为 $6$，则 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2018)$ 的值是（ ）。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $1$

3. (C)

   $\frac{1}{2}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{3}}{2}$

在以下四个数中，最大的是（ ）。

1. (A)

   $\ln \sqrt{2}$

2. (B)

   $\frac{1}{e}$

3. (C)

   $\frac{\ln \pi }{\pi }$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{10}\ln 10}{20}$

设复数 $z$ 满足 $|z|=1$，$i$ 是虚数单位，则 $\left|(z+1)+i(7-z)\right|$ 的值不可能是（ ）。

1. (A)

   $4\sqrt{2}$

2. (B)

   $4\sqrt{3}$

3. (C)

   $5\sqrt{2}$

4. (D)

   $5\sqrt{3}$

下面左边的平行四边形 $ABCD$ 是由 $6$ 个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以得到如右图所示的粽子形状的六面体。在这个六面体中，$AB$ 与 $CD$ 夹角的余弦值是（ ）。

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $1$

3. (C)

   $\frac{1}{2}$

4. (D)

   $\frac{5}{6}$

已知函数 $f(x)=\sin x$ 和 $g(x)=\sqrt{{\pi }^2-x^2}$ 的定义域都是 $[-\pi ,\pi ]$，它们的图象围成的区域面积是 。

若 $a$ 为正实数，且 $f(x)={\log }_2\left(ax+\sqrt{2x^2+1}\right)$ 是奇函数，则不等式 $f(x)>\frac{3}{2}$ 的解集是 。

对于实数 $a$，用 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数。例如 $[3]=3$， $[\sqrt{2}]=1$，$[-\pi ]=-4$。设 $x$ 为正实数，若 $[{\log }_{2}x]$ 为偶数，则称 $x$ 为幸运数。 在区间 $(0,1)$ 中随机选取一个数，它是幸运数的概率为 。

实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=20$，则 $xy+8x+y$ 的最大值是 。

凸六边形 $ABCDEF$ 的 $6$ 条边长相等，内角 $A,B,C$ 分别为 $134^{\circ },106^{\circ },134^{\circ }$，则内角 $E$ 是  （用度数作答）。

半径分别为 $6,6,6,7$ 的四个球两两外切。它们都内切于一个大球，则大球的半径是 。

设 $x_1,x_2,x_3$ 是方程 $x^3-17x-18=0$ 的三个根，且 $-4<x_1<-3$，$4<x_3<5$。

1. (1)

   求 $x_2$ 的整数部分；

2. (2)

   求 $\arctan x_1+\arctan x_2+\arctan x_3$ 的值。

如图，$F_1,F_2$ 是双曲线

的两个焦点。一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$，又设 $O$ 为坐标原点。求证：

1. (1)

   $|OA|\cdot |OB|=|O{F}_1{|}^2$；

2. (2)

   $F_1,F_2,A,B$ 四点在同一个圆上。

设 $f(x)=e^x-\cos x$，$x>0$。正实数数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且当 $n\ge 2$ 时 $f(a_n)=a_{n-1}$。求证：

1. (1)

   当 $n\ge 2$ 时，$a_{n-1}>a_n+a_n^2$；

2. (2)

   $\sum _{k=1}^n{a}_k<2\sqrt{n}$。