2013 年天津预赛

设函数

考虑命题 $p$：$f(x)$ 是奇函数；命题 $q$：$f(x)$ 是偶函数。那么，正确的命题是（ ）。

1. (A)

   $p,q$

2. (B)

   $p,\neg q$

3. (C)

   $\neg p,q$

4. (D)

   $\neg p,\neg q$

设 $B,C$ 是定点且都不在平面 $\pi$ 上，动点 $A$ 在平面 $\pi$ 上且

那么，$A$ 点的轨迹是（ ）。

1. (A)

   椭圆

2. (B)

   抛物线

3. (C)

   双曲线

4. (D)

   以上皆有可能

在 $△ABC$ 中，

则 $△ABC$ 是（ ）。

1. (A)

   等腰三角形

2. (B)

   直角三角形

3. (C)

   等腰直角三角形

4. (D)

   以上均不对

等差数列 $\{a_n\}$ 前 $n$ 项的和为 $S_n$，已知

则 $\frac{S_{65}}{a_{43}}$ 的值是（ ）。

1. (A)

   $125$

2. (B)

   $85$

3. (C)

   $45$

4. (D)

   $35$

如果曲线

的两条互相垂直的切线交于 $P$ 点，则 $P$ 点的坐标不可能是（ ）。

1. (A)

   $(\pi ,\pi )$

2. (B)

   $(3\pi ,-\pi )$

3. (C)

   $(5\pi ,-\pi )$

4. (D)

   $(7\pi ,-\pi )$

如果不等式

的解集是区间 $(-3,3)$ 的子集，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）。

1. (A)

   $(-\infty ,7)$

2. (B)

   $(-\infty ,7]$

3. (C)

   $(-\infty ,5)$

4. (D)

   $(-\infty ,5]$

若

则 ${\log }_{4}x$ 的值是。

设 $M$ 是椭圆

上的动点，又设点 $F$ 和点 $P$ 的坐标分别是 $(1,0)$ 和 $(3,1)$，则

的最大值是。

已知 $x,y\in \mathbb{R}$，且 $x^2+y^2\le 1$，则 $x+y-xy$ 的最大值是。

设

则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 等于。

如果 $\{1,2,\dots ,9\}$ 的某个非空子集中所有元素之和是 $3$ 的倍数，则称该子集为“忐忑子集”。那么，忐忑子集的个数是。

在 $△ABC$ 中，$bc=b^2-a^2$，且 $B-A=80^{\circ }$，则内角 $C$ 等于（用度数作答）。

正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D$ 为 $AC$ 的中点。

1. (1)

   证明 $A{B}_1\Vert$ 平面 $BD{C}_1$；

2. (2)

   当 $\frac{A{A}_1}{AB}$ 取何值时，$A{B}_1$ 与 $B{C}_1$ 垂直？

在平面直角坐标系中，设 $A,B,C$ 是曲线 $xy=1$ 上三个不同的点，且 $D,E,F$ 分别是 $BC,CA,AB$ 的中点。求证：$△DEF$ 的外接圆经过原点 $O$。

设 $\alpha ,\beta$ 为实数，$n$ 为正整数，且

1. (1)

   证明

   $$\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+{\tan }^2\alpha }\le \alpha -\beta ,$$

   并判断等号成立的条件；

2. (2)

   证明

   $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k^2}<\frac{\pi }{4n}.$$