2024 年江苏预赛

设 $x\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}\right]$，则函数 $f(x)={\sin }^{2}x-2\sin x$ 的最大值为。

有 $4$ 道选择题，每题有 $4$ 个选项，其中恰有一个选项正确。某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为。

函数 $y=\sqrt{x-5}+\sqrt{25-x}$ 的值域为。

设 $a\in \mathbb{R}$。已知虚数 $z$ 满足 $|z|=1$，且 $(z+a{)}^2=a$，则实数 $a$ 的值为。

已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数。若函数 $g(x)=f(x)-x^2$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增，则不等式

的解集为。

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $O$ 为坐标原点。点 $A$ 在第一象限，且在圆 $\Gamma :(x-1{)}^2+y^2=1$ 上。点 $B$ 为直线 $OA$ 与直线 $\mu :\frac{x}{5}+\frac{y}{25}=1$ 的交点，则 $\frac{|OA|}{|OB|}$ 的最大值为。

已知函数 $f(x)=\sin \omega x+\sqrt{3}\cos \omega x(\omega >0)$。若函数 $f(x)$ 在区间 $(0,\pi )$ 上恰有三个极值点和两个零点，则 $\omega$ 的取值范围为。

集合 $M$ 为连续 $n$ 个正整数组成的集合。若 $M$ 中所有元素的和恰为 $2024$，且 $n$ 为偶数，则集合 $M$ 中最小的元素为。

设圆内接四边形 $ABCD$ 的边长分别为 $AB=2,BC=6,CD=9,AD=7$，则该圆的直径长为。

三棱锥 $P-ABC$ 中，三条侧棱 $PA,PB,PC$ 两两不等，且相互之间夹角都是 $\pi /3$。若底面 $△ABC$ 的三边长分别为 $\sqrt{3},\sqrt{7},\sqrt{7}$，则该三棱锥的体积为。

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，其前 $n$ 项和为 $S_n$。若对任意正整数 $m,n$，当 $m>n$ 时，恒有

则 $S_{10}$ 的值为。

设函数 $f(x)$ 对一切实数 $x,y$ 满足

且 $|f(x)-x^2|\le 1$，则函数 $f(x)=$。

已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，$\{b_n\}$ 为等比数列，并且

(1) 求 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\{a_n{b}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$。

如图，$\odot O$ 是 $△ABC$ 的外接圆，点 $M$ 是弧 $BC$（不含点 $A$）的中点，$\angle ABC$ 的角平分线与 $\angle BAC$ 的外角平分线交于点 $D$，$MD$ 与 $\odot O$ 交于点 $T$。

(1) 求证：$CD$ 平分 $\angle ACB$ 的外角；

(2) 求证：$T{D}^2=TB\cdot TC$。

直线 $l$ 过椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点 $F$，交椭圆 $\Gamma$ 于 $A,B$ 两点。已知在 $x$ 轴上存在点 $P$，使得 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值，求点 $P$ 的坐标。

设 $n$ 为正整数，欧拉函数 $\phi (n)$ 表示不大于 $n$ 且与 $n$ 互素的正整数的个数，例如 $\phi (10)=4$。若 $\phi (5x)=2024$，试确定整数 $x$ 的值。