2016 年天津预赛

函数 $f(x)=\left|\sin 2x+\cos 2x\right|$ 的最小正周期是（ ）。

方程

共有（ ）个实根。

设 $0<a<b$，已知 $a,s,t,b$ 依次成等差数列，$a,u,v,b$ 依次成等比数列。记

则（ ）。

掷两次骰子，用 $X$ 记两次掷得点数的最大值，则下列各数中，与期望 $E(X)$ 最接近的数是（ ）。

设 $a$ 是实数，要使得对任何

都有

所有满足上述要求的 $a$ 组成的集合是（ ）。

设函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-\infty ,+\infty )$，对于下列四个命题：

（1） 若 $f(x)$ 是奇函数，则 $f(f(x))$ 也是奇函数；

（2） 若 $f(x)$ 是周期函数，则 $f(f(x))$ 也是周期函数；

（3） 若 $f(x)$ 是单调递减函数，则 $f(f(x))$ 是单调递增函数；

（4） 若方程 $f(f(x))=x$ 有实根，则方程 $f(x)=x$ 也有实根。

正确的命题共有（ ）。

若椭圆 $x^2+k{y}^2=1$ 与双曲线

有相同的准线，则 $k=$。

已知正三棱锥的侧面是面积为 $1$ 的直角三角形，则该正三棱锥的体积为。

已知 $△ABC$ 的周长为 $20$，内切圆的半径为 $\sqrt{3}$，$BC=7$，则 $\tan A$ 的值为。

甲、乙两名学生在五门课程中进行选修，他们共同选修的课程恰为一门，并且甲选修课程的数量多于乙，则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为。

已知凸 $n$ 边形 $n$ 个内角的度数都是整数并且互不相等，最大内角的度数是最小内角的度数的 $3$ 倍，则 $n$ 可以取到的最大值是。

设向量 ${\vec{a}}_1=(1,5),{\vec{a}}_2=(4,-1),{\vec{a}}_3=(2,1)$，${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 都是非负实数，且

则

的最小值为。

已知正三棱锥 $P$-$ABC$ 的体积为 $9\sqrt{3}$，侧面 $PAB$ 与底面 $ABC$ 所成二面角的平面角为 $60^{\circ }$。点 $D$ 在线段 $AB$ 上且 $AD=\frac{1}{6}AB$，点 $E$ 在线段 $AC$ 上且 $AE=\frac{1}{6}AC$，$F$ 是线段 $PC$ 的中点，平面 $DEF$ 交线段 $PB$ 于点 $G$，求四边形 $DEFG$ 的面积。

设 $a$ 是实数，两条抛物线

有四个交点。

（1）求 $a$ 的取值范围；

（2）证明这四个交点共圆，并求该圆圆心的坐标。

设

且

求证：对任何正整数 $n$，有