培玉 · 一试

2009 年辽宁预赛

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第 1 题

已知集合 $M = {x ∣ 5 - ∣2 x - 3∣ \in N^{*}}$ ，则 $M$ 的所有非空真子集的个数是（）。

(A)
$254$
(B)
$255$
(C)
$510$
(D)
$511$

第 2 题

平面上满足约束条件

⎩ ⎨ ⎧ x \geq 2, x + y \leq 0, x - y - 10 \leq 0,

的点 $(x, y)$ 形成的区域为 $D$ 。区域 $D$ 关于直线 $y = 2 x$ 对称的区域为 $E$ ，则区域 $D$ 和区域 $E$ 中距离最近的两点的距离为（）。

(A)
$\frac{6 5}{5}$
(B)
$\frac{12 5}{5}$
(C)
$\frac{8 3}{5}$
(D)
$\frac{16 3}{5}$

第 3 题

已知 $△ A BC$ 的三边 $a, b, c$ 成等比数列， $a, b, c$ 所对的角依次为 $A, B, C$ ，则 $sin B + cos B$ 的取值范围是（）。

(A)
$(1, 1 + \frac{3}{2}]$
(B)
$[\frac{1}{2}, 1 + \frac{3}{2}]$
(C)
$(1, 2]$
(D)
$[\frac{1}{2}, 2]$

第 4 题

设 $M$ 是正方体各条棱的中点的集合，则过且仅过 $M$ 中 $3$ 个点的平面的个数是（）。

(A)
$56$
(B)
$81$
(C)
$136$
(D)
$145$

第 5 题

设 $a_{n} = 2^{n}$ ， $b_{n} = n (n = 1, 2, 3, \dots)$ ， $A_{n}, B_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。记

c_{n} = a_{n} B_{n} + b_{n} A_{n} - a_{n} b_{n},

则数列 ${c_{n}}$ 的前 $10$ 项和为（）。

(A)
$2^{10} + 53$
(B)
$2^{11} + 53$
(C)
$110 (2^{9} - 1)$
(D)
$110 (2^{10} - 1)$

第 6 题

将一些半径为 $1$ 的小圆放入半径为 $11$ 的大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是（）。

(A)
$30$
(B)
$31$
(C)
$32$
(D)
$33$

第 7 题

正四面体 $A BC D$ 的外接球球心为 $O$ ， $E$ 为 $BC$ 中点，

则二面角 $A - BO - E$ 的大小为。

第 8 题

函数

f (x) = \frac{x - x ^{3}}{1 + 2 x ^{2} + x ^{4}}

的最大值与最小值的乘积是。

第 9 题

本题整理中，不计分。

第 10 题

设 $a (0 < a < 1)$ 是给定的常数， $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且在 $(0, + \infty)$ 上递减。若 $f (\frac{1}{2}) = 0$ ， $f (lo g_{a} x) > 0$ ，那么 $x$ 的变化范围是。

第 11 题

数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{n} = 1 + \frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{( n + 1 ) ^{2}} - 1,

则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2009} =$ 。

第 12 题

已知点 $P$ 是双曲线 $\frac{x ^{2}}{8} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 上的动点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是其左、右焦点， $O$ 为坐标原点，则

\frac{∣ P F _{1} ∣ + ∣ P F _{2} ∣}{∣ OP ∣}

的取值范围是。

第 13 题

已知函数 $f (x) = 2 x + a ln x$ 。

(1)
若 $a < 0$ ，证明：对于任意两正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有
$\frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2} \geq f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2})$
成立；
(2)
若对任意 $x \in [1, e]$ ，不等式
$f (x) \leq (a + 3) x - \frac{1}{2} x^{2}$
恒成立，求 $a$ 的取值范围。

第 14 题

已知椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{6}{3}$ ，过点 $A (0, - b)$ 和 $B (a, 0)$ 的直线与原点的距离为 $\frac{3}{2}$ 。

(1)
求椭圆的方程；
(2)
已知定点 $E (- 1, 0)$ ，直线 $y = k x + t$ 与椭圆交于 $C, D$ 两点。证明：对任意的 $t > 0$ ，都存在 $k$ ，使得以线段 $C D$ 为直径的圆过 $E$ 点。

第 15 题

如图，在 $△ A BC$ 中 $A B > A C$ ， $A E$ 是其外接圆的切线， $D$ 为 $A B$ 上的点，且 $A D = A C = A E$ 。求证：直线 $D E$ 过 $△ A BC$ 的内心。

第 16 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}, a_{2 k}$ 是关于 $x$ 的方程

x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0

的两个根。

(1)
求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
(2)
记
$f (n) = \frac{1}{2} (\frac{∣ sin n ∣}{sin n} + 3), T_{n} = \frac{( - 1 ) ^{f (2)}}{a _{1} a _{2}} + \frac{( - 1 ) ^{f (3)}}{a _{3} a _{4}} + \dots + \frac{( - 1 ) ^{f (n + 1)}}{a _{2 n - 1} a _{2 n}},$
求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ 。