2009 年辽宁预赛 · 第 4 题

解答

平移缩放后，十二点为 $(0,\pm 1,\pm 1),(\pm 1,0,\pm 1),(\pm 1,\pm 1,0)$。它们同在球面上，故任意三点不共线。对每组三点 $P_i,P_j,P_k$，以 $n=(P_j-P_i)\times (P_k-P_i)$、$d=-n\cdot P_i$ 写平面 $n\cdot X+d=0$，将四个整数系数除以公因数并统一首个非零系数为正，即可无重复列出平面。逐一代入十二点，有下列完整分类：

这里系数已按上述规则约至互素。故恰过三点的平面数为 $\boxed{24+8+24=56}$，选 A。