2009 年辽宁预赛 · 第 16 题

解答

每对根和为 $3k+2^k$、积为 $3k{2}^k$，故 $\boxed{S_{2n}=3n(n+1)/2+2^{n+1}-2}$。整数弧度的正弦不为零；当 $\sin j>0$ 时 $f(j)=2$，否则为一。因此 $T_1=1/6,T_2=5/24$，第三项为 $-1/72$。对 $n\ge 3$，其余各项绝对值为 $1/(3k{2}^k)$。由 ${\sum }_{k=3}^{n}1/(3k{2}^k)<1/36$，得 $T_n>5/24-1/36=13/72>1/6$。另一方面，第三项之后的尾和绝对值小于 ${\sum }_{k=4}^{\infty }1/(12\cdot 2^k)=1/96$，故 $T_n<5/24-1/72+1/96<5/24$。结合前两项得 $\boxed{1/6\le T_n\le 5/24}$。