2026 年福建预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知六边形 $A BC D EF$ 为圆 $O$ 的内接正六边形（ $O$ 为坐标原点， $A, B, C, D, E, F$ 依逆时针排列）， $G$ 为 $△ A BC$ 的重心。若点 $A$ 的坐标为 $(2, 3)$ ，则点 $G$ 的坐标为。

第 2 题

在 $△ A BC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 。若 $A \leq B$ ，且 $a, b, c$ 成等比数列，则 $\frac{b}{a}$ 的取值范围为。

第 3 题

已知三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为 $23$ ，若 $C B_{1} = 23$ ， $cos ∠ A_{1} A B = - \frac{1}{4}$ ，则三棱锥 $A_{1} - A BC$ 的外接球的半径为。

第 4 题

已知 $f (x) = x^{2} + a x + b$ （ $a, b \in R$ 且 $ab \neq = 0$ ）。若

{x ∣ f (x) = 0, x \in R} \neq = \emptyset,

且

{x ∣ f (x) = 0, x \in R} \subseteq {x ∣ f (f (f (x))) = 0, x \in R},

则 $f (1) =$ 。

第 5 题

将正整数 $n$ 改写成 $m$ 个从小到大的正整数的和，称为 $n$ 的一种分解。若这 $m$ 个数构成等差数列，则称这 $m$ 个数为正整数 $n$ 的一种“等差分解”方式。那么 $2026$ 的不同“等差分解”方式有种。

第 6 题

来自某中学高三年级 $5$ 个班的 $40$ 位同学参加“读书节”活动，在活动中这 $40$ 位同学共捐赠了 $50$ 本书给图书馆。已知同一个班的同学捐赠的书的本数相同，不同班的两个同学捐的书的本数不同，且每个同学都至少捐赠了一本书。则恰好捐赠一本书的同学有位。

第 7 题

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (2, 0), B (4, 0)$ 。 $P$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y = 0$ 上的一个动点，则 $∠ A PB$ 的最大值为。

第 8 题

已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，从中任取集合 $U$ 的两个子集 $A, B$ （ $A, B$ 可以相同）。记事件 $D$ 为“ $A$ 中最大元素为 $4$ ， $B$ 中最大元素为 $5$ ”，事件 $E$ 为“ $A$ 是 $B$ 的子集”。则事件 $D \cup E$ 的概率 $P (D \cup E) =$ 。（用数字作答）

第 9 题

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的正整数，满足

(1 - \frac{1}{a _{1}}) (1 - \frac{1}{a _{2}}) \dots (1 - \frac{1}{a _{n}}) = \frac{36}{259} .

则正整数 $n$ 的最小值为。

第 10 题

若正实数 $x, y, z$ 满足

x^{2} y^{2} + 16 y^{2} z^{2} + 4 z^{2} x^{2} = 2 x yz,

则 $x + 2 y + 4 z$ 的最大值为。

第 11 题

已知双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $5$ 。 $P$ 为双曲线 $C$ 上一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $3 - 5$ 。

(1)
求双曲线 $C$ 的方程；
(2)
设斜率不为零的直线 $l : y = k x + m$ 交双曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点， $D$ 为双曲线 $C$ 上一点，且 $B D = 4 O A$ 。
1. (i)
  求 $m$ 的取值范围；
2. (ii)
  求四边形 $O A D B$ 的面积。

第 12 题

已知

f (x) = sin x + sin 2 x - λ x cos x .

(1)
若 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的最大值；
(2)
求证：对任意正整数 $n$ ，
$k = 1 \sum n (tan \frac{π}{4 ^{k}} + 2 sin \frac{π}{4 ^{k}}) < \frac{10}{3} .$

第 13 题

给定直线 $l$ ， $A, P$ 是位于直线 $l$ 同侧的两个定点， $B, C$ 是直线 $l$ 上的两个动点，且 $∠ B A C = 9 0^{\circ}$ 。求证：当点 $B, C$ 在直线 $l$ 上运动时， $△ BCP$ 的外接圆经过除 $P$ 外的另一个定点。

第 14 题

将正整数 $1, 2, \dots, n$ 的每一个都染成红色或者蓝色，并且每一种颜色的数至少一个。若红色数中的每一个数都是两个不同的蓝色数的和，蓝色数中的每一个数都是两个红色数的差，求 $n$ 的最小可能值。

第 15 题

求证：对任意大于 $3$ 的整数 $n$ ，均存在一个由 $n$ 个正整数组成的数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，同时满足以下三个条件：

(1)
数列各项之和等于它们的最小公倍数，即
$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}];$
(2)
对于 $i = 2, 3, \dots, n - 1$ ，均有 $a_{i}$ 不整除 $a_{i + 1}$ ；
(3)
相邻两项的最大公约数严格单调递增，即
$(a_{1}, a_{2}) < (a_{2}, a_{3}) < \dots < (a_{n - 1}, a_{n}) .$