2008 年山西预赛

设函数

则 $f(x)$ 的最大值为（ ）．

1. (A)

   $\frac{1}{3}$

2. (B)

   $\frac{7}{3}$

3. (C)

   $\frac{8}{3}$

4. (D)

   $3$

不等边 $△ABC$ 中，$\angle B=60^{\circ }$，则直线

与直线

的位置关系是（ ）．

1. (A)

   垂直

2. (B)

   平行

3. (C)

   重合

4. (D)

   其他情况

四棱锥 $P$-$ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是顶角为 $60^{\circ }$ 的菱形，侧面与底面的夹角都为 $60^{\circ }$。棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为 $1$，则棱锥的体积为（ ）．

1. (A)

   $16\sqrt{3}$

2. (B)

   $12\sqrt{3}$

3. (C)

   $8\sqrt{3}$

4. (D)

   $4\sqrt{3}$

在 $△ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边的中点。若

则 $\tan A+2\tan C$ 的值为（ ）．

1. (A)

   $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. (B)

   $0$

3. (C)

   $\frac{\sqrt{3}}{3}$

4. (D)

   $1$

使得

的值为整数的无理数 $x$ 的个数为（ ）．

1. (A)

   $0$

2. (B)

   $2$

3. (C)

   $4$

4. (D)

   $6$

设

从数列 $\{a_n\}$ 中去掉所有能被 $3$ 整除的数后，剩下的项自小到大排成数列 $\{b_n\}$，则 $b_{200}=$（ ）．

1. (A)

   $200808$

2. (B)

   $179101$

3. (C)

   $153201$

4. (D)

   $116808$

椭圆

的焦距为 $2c$。若三数 $a,b,c$ 顺次组成一个等比数列，则其离心率为。

三角形的三条边长分别为

则三角形的最大内角为。

设 $\alpha \in \mathbb{R}$，则函数

的值域是。

若两位数 $\overline{ab}$（$a>0,b>0$）满足：$\overline{ab}$ 与 $\overline{ba}$ 有大于 $1$ 的公因数，称 $\overline{ab}$ 为“好数”，则“好数”的个数有个。

七个正数组成等比数列 $a_1,a_2,\dots ,a_7$，其前五项之和为

后五项之和为 $12+14\sqrt{2}$，则这七项之积

$n$ 支足球队参加单循环比赛，每两队比赛一场。每场比赛胜队积 $2$ 分、负队积 $0$ 分，平局双方各积 $1$ 分。三位裁判对各队积分总和统计得到三个不同结果：$3086,2018,1238$。他们添加其中每两个数的平均值，发现仍不相同；再添加最初三数的平均值。若这七个数中有一个值是对的，则参赛的队数 $n=$ 个队。

直线 $x+y=1$ 交椭圆

于 $A,B$ 两点，$C$ 是线段 $AB$ 的中点。若 $|AB|=2\sqrt{2}$，直线 $OC$ 的斜率 $k_{OC}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，求椭圆的方程。

如图，以 $△ABC$ 的一边 $BC$ 为直径作圆，分别交 $AB,AC$ 所在直线于点 $E,F$。过点 $E,F$ 分别作圆的切线，交于一点 $P$；直线 $AP$ 与 $BF$ 交于一点 $D$。证明 $D,C,E$ 三点共线。

设 $M=\{1,2,\dots ,2008\}$ 是前 $2008$ 个正整数组成的集合，$A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{30}\}$ 是 $M$ 的一个 $30$ 元子集，已知 $A$ 中的元素两两互质。证明：$A$ 中至少有一半元素是质数。