2008 年山西预赛 · 第 15 题

解答

每个不超过二千零八的合数至少有一个素因子不超过 $\sqrt{2008}<45$。小于四十五的素数恰为

共十四个。为 $A$ 中每个合数选取这样一个素因子；由于元素两两互素，所选素因子必各不相同，所以 $A$ 至多含十四个合数。 非素数还可能是一，但集合中至多出现一个一。因此 $A$ 的非素数至多十五个，三十个元素中至少 $30-15=\boxed{15}$ 个为素数，即至少一半。