2021 年贵州预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知集合

M = {(x, y) ∣ ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \leq 1},

集合

N = {(x, y) x^{2} + y^{2} \leq ∣ x ∣ + ∣ y ∣},

则（）

A. M = N B. M \subseteq N C. N \subseteq M D. 前三个都不正确

函数 $y = sin x$ 与 $y = lo g_{2021} ∣ x ∣$ 的图像的交点个数是（）

A. 1284 B. 1285 C. 1286 D. 1287

设 $a, b \in N_{+}$ ，且满足

\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{2021},

则所有正整数对 $(a, b)$ 的个数为（）

A. 2020 B. 2021 C. 3 D. 4

已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ ， $n \in N_{+}$ 。则（）（本题为多选题）

已知直线系

L : \frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0),

则（）（本题为多选题）

A.
若 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} < 1$ ，则 $L$ 中存在直线与椭圆 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 有两个不同的交点；
B.
若 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} > 1$ ，则 $L$ 中直线围成的三角形的面积的最大值为 $\frac{3 3}{4} ab$ ；
C.
若 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，则 $L$ 中直线围成的三角形的面积的最大值为 $33 ab$ ；
D.
若 $\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，则 $L$ 中直线可以围成正方形。

方程 $x^{3} - 9 x^{2} + 8 x + 2 = 0$ 有三个实根 $p, q, r$ ，则

\frac{1}{p ^{2}} + \frac{1}{q ^{2}} + \frac{1}{r ^{2}} = .

设 $G$ 和 $O$ 分别是 $△ A BC$ 的重心和外心，且 $A B = 3$ ， $A C = 3$ ，则 $A G \cdot A O =$ 。

在正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ ， $E, F$ 分别为棱 $C C_{1}, D D_{1}$ 的中点。则平面 $A EF$ 截该正方体的外接球所得截面的面积为。

方程

2 x^{2} + x + 3 + x^{2} + x + 1 = 5 x^{2} + 3 x + 7

的解集为。

在斜三角形 $A BC$ 中，

cos^{2} A + cos^{2} B + cos^{2} C = sin^{2} B,

则 $tan A tan C =$ 。

已知复数 $z$ 满足 $∣ z ∣ = 1$ ，则 $∣ z^{2} - 2 z + 3∣$ 的最小值为。

老师为学生购买纪念品，商店中有三种不同类型的纪念品（同类型的纪念品完全相同），价格分别为 $1$ 元、 $2$ 元、 $4$ 元。李老师计划用 $101$ 元，且每种纪念品至少购买一件，则共有种不同的购买方案。

已知数列 ${x_{n}}$ （ $n \in N_{+}$ ）满足 $x_{n} > 1$ ， $e$ 为自然对数的底数。记

A = x_{1} x_{2} \dots x_{n}, B = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}, C = \frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} + \dots + \frac{1}{x _{n}} .

求证： $A^{2} < e^{B - C}$ 。

求椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

过顶点 $B (0, b)$ 的最长弦的长度。

设 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 均为非负实数。求证：

\frac{a _{1}}{a _{2}^{2} + \dots + a _{n}^{2}} + \frac{a _{2}}{a _{1}^{2} + a _{3}^{2} + \dots + a _{n}^{2}} + \dots + \frac{a _{n}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} + \dots + a _{n - 1}^{2}} \geq \frac{4}{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}} .