培玉 · 一试

2010 年辽宁预赛

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第 1 题

集合 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {2, 4, 6, 8, 20}$ ，若

C = {s ∣ s = a + b, a \in A, b \in B},

则集合 $C$ 的元素个数为（）。

(A)
$9$
(B)
$11$
(C)
$13$
(D)
$20$

第 2 题

“函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调”是“函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值和最小值”的（）。

(A)
充分条件而非必要条件
(B)
必要条件而非充分条件
(C)
充分必要条件
(D)
即非充分条件亦非必要条件

第 3 题

某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（）。

(A)
$36$ 种
(B)
$39$ 种
(C)
$60$ 种
(D)
$78$ 种

第 4 题

数列

\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \dots, \frac{1}{m + 1}, \frac{2}{m + 1}, \dots, \frac{m}{m + 1}, \dots

的前40项的和是（）。

(A)
$23 \frac{1}{2}$
(B)
$19 \frac{1}{9}$
(C)
$19$
(D)
$18$

第 5 题

设

A = {(m, n) ∣ 0 < m < 2, 0 < n < 2, m, n \in R},

则任取 $(m, n) \in A$ ，关于 $x$ 的方程 $\frac{m}{4} x^{2} + x + n = 0$ 有实根的概率为（）。

(A)
$\frac{1 + 2 ln 2}{4}$
(B)
$\frac{1 + ln 2}{2}$
(C)
$\frac{3 - 2 ln 2}{4}$
(D)
$\frac{1 - ln 2}{2}$

第 6 题

若正方体的棱长为 $a$ ，则与正方体对角线垂直的最大截面的面积为（）。

(A)
$\frac{3 2}{4} a^{2}$
(B)
$2 a^{2}$
(C)
$\frac{3}{2} a^{2}$
(D)
$\frac{3 3}{4} a^{2}$

第 7 题

设

(3 + x + 2 x^{2})^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n} (n \in N^{*})

对 $x \in R$ 恒成立，则

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2 n - 1} = .

第 8 题

函数 $f (x) = 2 ∣ sin x ∣ + 3 ∣ cos x ∣$ 的值域是

.

第 9 题

将椭圆

\frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1

绕坐标原点逆时针旋转 $4 5^{\circ}$ 后所得椭圆的最高点与原点的距离是

.

第 10 题

不等式

lo g_{6} (1 + x) > lo g_{25} x

的整数解的个数为

.

第 11 题

若关于 $x$ 的方程

x^{2} - (a^{2} + b^{2} - 6 b) x + a^{2} + b^{2} + 2 a - 4 b + 1 = 0

的两个实数根 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1} \leq 0 \leq x_{2} \leq 1$ ，则

a^{2} + b^{2} + 4 a + 4

的最小值与最大值之和是

.

第 12 题

已知椭圆

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0),

$F_{1}, F_{2}$ 为其左、右焦点， $Q$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $△ F_{1} Q F_{2}$ 的重心为 $G$ ，内心为 $I$ ，直线 $I G$ 与 $x$ 轴平行，则椭圆 $C$ 的离心率是

.

第 13 题

已知 $\frac{1}{3} \leq a \leq 1$ ，若 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ 在 $[1, 3]$ 上的最大值为 $M (a)$ ，最小值为 $N (a)$ ，令 $g (a) = M (a) - N (a)$ 。

(1)
求 $g (a)$ 的函数表达式；
(2)
求证： $g (a) \geq \frac{1}{2}$ 恒成立。

第 14 题

设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的左、右焦点，点 $P$ 为椭圆上一点。在 $△ F_{1} P F_{2}$ 中， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的外角平分线为 $ℓ$ ，点 $F_{2}$ 关于 $ℓ$ 的对称点为 $Q$ ， $F_{2} Q$ 交 $ℓ$ 于点 $R$ 。

(1)
当点 $P$ 在椭圆上运动时，求点 $R$ 的轨迹方程；
(2)
设点 $R$ 的轨迹为曲线 $C$ ，直线 $ℓ^{'} : y = k (x + 2 a)$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点， $△ A OB$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 取得最大值时 $k$ 的值。

第 15 题

如图， $⊙ O_{1}$ 与 $⊙ O_{2}$ 内切于点 $P$ ， $⊙ O_{1}$ 的弦 $A B$ 切 $⊙ O_{2}$ 于点 $C$ 。延长 $PC$ 交 $⊙ O_{1}$ 于点 $G$ ， $P A$ 、 $PB$ 分别交 $⊙ O_{2}$ 于点 $E$ 、 $F$ ， $EF$ 交 $PC$ 于点 $D$ ，延长 $A D$ 交 $⊙ O_{1}$ 于点 $H$ 。求证：

(1)
$G$ 为 $A B$ 的中点；
(2)
$G, F, H$ 三点共线。

第 16 题

已知数列 ${a_{n}}$ 各项均不为 $0$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ 都有

(1 - p) S_{n} = p - p a_{n} (p > 1 为常数),

记

f (n) = \frac{1 + ( 1 n ) a _{1} + ( 2 n ) a _{2} + \dots + ( n n ) a _{n}}{2 ^{n} S _{n}} .

(1)
试比较 $f (n + 1)$ 与 $\frac{p + 1}{2 p} f (n)$ 的大小（ $n \in N^{*}$ ）；
(2)
求证：
$(2 n - 1) f (n) \leq k = 1 \sum 2 n - 1 f (k) \leq \frac{p + 1}{p - 1} [1 - (\frac{p + 1}{2 p})^{2 n - 1}] (n \in N^{*}) .$